O esquema ao lado mostra a vista lateral de uma tubulação na qual água ( ρ = 1 x 10 3   k g / m 3 ) flui idealmente no sentido indicado. No ponto a , a velocidade é v a = 1,0   m / s e a pressão é p a = 1 x 10 4   P a . A área da seção transversal da tubulação nos pontos b e c é um terço da área da seção transversal em a e d . Considere h   =   0,1   m e g   =   10   m / s 2 .

( a ) Calcule a velocidade do fluido nos pontos b ,   c e d .

( b ) Calcule a pressão nos pontos b ,   c e d . Em qual desses pontos a pressão é menor? Explique sua resposta.

Passo 1

Estudamos duas matérias que envolviam a velocidade das partículas de um fluido. O principio da continuidade que relaciona a área de cada secção do tubo com a velocidade e a equação de Bernoulli.

Bem, vamos usar um deles para resolver essa questão, visto que queremos a velocidade da partícula em alguns pontos do tubo.

Como o enunciado nos forneceu a seguinte relação: “A área da seção transversal da tubulação nos pontos b e c é um terço da área da seção transversal em a e d .”

Conseguimos resolver esse item apenas com o principio da continuidade, pois ele diz que

A 1 . v 1 = A 2 . v 2 = A n . v n

Além disso temos a velocidade em a e a área e ainda temos as relações entres a área A a com as áreas em b , c   e   d .

A a .   v a = A a 3 . v b = A a 3 v c = A a . v d

Assim, já descobrimos que:

v a = v d     ; v b = v c

Além disso, com a relação:

A a .   v a = A a 3 . v c

Temos que:

v b = 3 v a

Agora falta so substituir os valores:

v a = 1   m / s   = v d

v b = v c = 3.1 = 3   m / s

Passo 2

Agora a matéria que relaciona velocidade com pressão é a equação de Bernoulli, então vamos usá-la para resolver a questão. A equação nos diz que:

p a + 1 2 ρ v a 2 + ρ g h a = p b + 1 2 ρ v b 2 + ρ g h b = p n + 1 2 ρ v n 2 + ρ g h n

Sendo que temos que as alturas em cada ponto são:

h a = h b = 0 → n o s s o   r e f e r e n c i a l .

h c = h = 0,1   ; h d = 2 h = 0,2

E ainda , temos a pressão em a , p a = 10 4   P a , assim podemos jogar esses valores na equação e obter as pressões em cada ponto.

Começando por p b

10 4 + 1 2 10 3 . 1 2 = p b + 1 2 10 3 . 3 2

p b = 10000 + 500 - 4500

p b = 6.10 3   P a

Agora que temos p b vamos encontrar p c

p b + 1 2 ρ v b 2 + ρ g h b = p c + 1 2 ρ v c 2 + ρ g h c

6000 + 4500 + 0 = p c + 4500 + 10 3 . 10.0,1

p c = 6000 - 1000

p c = 5.10 3   P a

E por último p d

p a + 1 2 ρ v a 2 + ρ g h a = p d + 1 2 ρ v d 2 + ρ g h d

10000 + 500 = p d + 500 + 10 3 . 10.0,2

p d = 10000 - 2000

p d = 8.10 3   P a

Agora podemos dizer que o local com menor pressão é o ponto C , por tem uma alta velocidade e uma certa altura a sua pressão cai muito.

Resposta

a   v a = v d = 1   m / s     v b = v c = 3   m / s

b   p b = 6   k P a   ; p c = 5   k P a   ; p d = 8 k P a

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