Passo 1

Essa equação tem cara de exata, né? Vamos ver se é mesmo:

P x = x y 4 + 4 x y 5   e Q x = 2 x 2 y 4 - 1

Pelas derivadas parciais temos:

∂ Q ∂ x =   4 x y 4

∂ P ∂ y =   4 x y 3 + 20 x y 4

Assim a equação não é exata, vamos ver agora se existe um fator integrante para torna-la exata.

Passo 2

Vemos que:

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y P =   - 4 y

Depende somente de y isso é bom, então vamos calcular o fator integrante:

μ x = e ∫ - 4 y d y = e ln ⁡ 1 y 4 = 1 y 4

Assim, multiplicando a equação pelo fator integrante temos:

P x = x + 4 x y   e Q x = 2 x 2 - 1 y 4

Agora sim temos uma equação exata e vamos resolver do jeito que já conhecemos.

Passo 3

Seja ϕ x , y = C   a solução da equação exata, então podemos escrever:

∂ ϕ ∂ x = x + 4 x y ∂ ϕ ∂ x = 2 x 2 - 1 y 4

Vamos integrar a primeira equação em relação a x , ok?

ϕ = x 2 2 + 2 x 2 y + c ( y )

Derivando em relação a y :

c ' y =   - 1 y 4   ⇒ c y = 1 3 y 3

Então temos que a solução da equação é:

x 2 2 + 2 x 2 y + 1 3 y 3 = C

Resposta

x 2 2 + 2 x 2 y + 1 3 y 3 = C

C ∈ R

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