Encontre um fator integrante e resolva a equação diferencial

3 x 2 y + 2 x y + y 3 d x + x 2 + y 2 d y = 0

Passo 1

De cara ele já fala pra gente que vamos ter que utilizar um fator integrante para resolver essa equação. Para isso vamos primeiramente calcular ∂ P / ∂ y e ∂ Q / ∂ x

P = 3 x 2 y + 2 x y + y 3

Q = x 2 + y 2

∂ P ∂ y = 3 x 2 + 2 x + 3 y 2

∂ Q ∂ x = 2 x

Vamos procurar como fator integrante uma função só de x

h x = ∂ P ∂ y - ∂ Q ∂ x Q = 3 x 2 + 3 y 2 x 2 + y 2 = 3  

Assim o fator integrante u será

u = e ∫ h d x = e 3 x

Assim a nossa equação depois que multiplicamos pelo fator integrante será.

e 3 x 3 x 2 y + 2 x y + y 3 d x + e 3 x x 2 + y 2 d y = 0

Agora basta resolver essa nova equação que será exata e onde teremos.

M x , y = e 3 x 3 x 2 y + 2 x y + y 3

N x , y = e 3 x x 2 + y 2

Passo 2

Calculando ∫ M ( x , y ) d x

∫ M x , y d x = ∫ e 3 x 3 x 2 y + 2 x y + y 3 d x

Para calcularmos essa integral devemos calcular ∫ e 3 x x 2 d x   e   ∫ e 3 x x d x

Vamos utilizar integral por partes para resolver essas integrais. Lembrando a formula.

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Na integral de ∫ e 3 x x d x vamos chamar d v = e 3 x d x e u = x

∫ e 3 x x d x = x e 3 x 3 - ∫ e 3 x 3 d x = x e 3 x 3 - e 3 x 9

Agora vamos utilizar o mesmo método para resolver ∫ e 3 x x 2 d x   chamando e 3 x d x = d v e u = x 2 .

∫ e 3 x x 2 d x = x 2 e 3 x 3 - ∫ 2 e 3 x x 3 d x

∫ e 3 x x 2 d x = x 2 e 3 x 3 - 2 3 x e 3 x 3 - e 3 x 9

Passo 3

Assim poderemos calcular a integral sem nenhum problema

∫ M x , y d x = 3 y x 2 e 3 x 3 - 2 3 x e 3 x 3 - e 3 x 9 + 2 y x e 3 x 3 - e 3 x 9 + y 3 e 3 x 3 + g ( y )

∫ M x , y d x = y x 2 e 3 x + y 3 e 3 x 3 + g ( y )

Passo 4

Derivando o que obtivemos no passo 3 em relação a y .

∂ y x 2 e 3 x + y 3 e 3 x 3 + g ( y ) ∂ y = x 2 e 3 x + y 2 e 3 x + g ' ( y )

Passo 5

Agora temos que igualar o que encontramos no passo 4 com N ( x , y )

x 2 e 3 x + y 2 e 3 x + g ' y = e 3 x x 2 + y 2

g ' y = 0 → g y = C

Onde C é uma constante real.

Passo 6

Como obtivemos somente uma constante não vamos ter nada para substituir no que encontramos no passo 4. Então nossa solução u x , y será

u = y x 2 e 3 x + y 3 e 3 x 3 + C

Como u deve ser igual a uma constante podemos dizer u = D

D = y x 2 e 3 x + y 3 e 3 x 3 + C

Chamando D - C = c

c = y x 2 e 3 x + y 3 e 3 x 3

Temos então a nossa solução.

Resposta

c = y x 2 e 3 x + y 3 e 3 x 3

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