Encontre um fator integrante e resolva a equação dada

y   d x + 2 x y - e - 2 y d y = 0

Passo 1

Olha aí, tem cara de equação exata, mas não é exata.

Por que não? Porque

P x , y = y → ∂ P ∂ y = 1

Q x , y = 2 x y - e - 2 y → ∂ Q ∂ x = 2 y

e vemos que

∂ P ∂ y ≠ ∂ Q ∂ x

Assim, precisamos de fato de um fator integrante para resolver esta equação quase exata.

Passo 2

Vamos calcular assim:

h x = ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y Q

h x = 2 y - 1 2 x y - e - 2 y

Paaaara aí! Isso não é uma função só de x ...

Então vamos tentar o outro:

f y = ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y P

f y = 2 y - 1 y = 2 - 1 y

Ahh agora sim – que alívio! =)

Passo 3

Beleza, então vamos encontrar o fator integrante agora:

I y = e ∫     f y d y

I y = e ∫     2 - 1 y d y

I y = e 2 y - l n ⁡ | y |

I y = e 2 y 1 y

E multiplicamos a equação toda por ele:

e 2 y 1 y . y   d x + e 2 y 1 y . 2 x y - e - 2 y d y = 0

e 2 y   d x + 2 x e 2 y - 1 y d y = 0

Passo 4

A nova equação é exata, aí fazemos o mesmo procedimento:

P x , y = e 2 y → ∂ P ∂ y = 2 e 2 y

Q x , y = 2 x e 2 y - 1 y → ∂ Q ∂ x = 2 e 2 y

Agora sim,

∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x

Passo 5

Vamos tomar primeiro a integral

ϕ = ∫     P x , y d x

ϕ = ∫     e 2 y d x

ϕ = x e 2 y + k ( y )

Passo 6

Então, ao derivar em relação a y , vamos obter

∂ ϕ ∂ y = 2 x e 2 y + k ' ( y )

Passo 7

Agora, comparamos o resultado com Q ( x , y ) :

∂ ϕ ∂ y = Q ( x , y )

2 x e 2 y + k ' ( y ) = 2 x e 2 y - 1 y

k ' y = - 1 y

Integrando:

k y = ∫     - 1 y   d y = - l n ⁡ | y |

Passo 8

Finalmente, as soluções são dadas na forma implícita:

ϕ x , y = C

x e 2 y - ln ⁡ y = C

Resposta

x e 2 y - ln ⁡ y = C

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