1. Determine uma função g de modo que

μ = g y x 2

seja um fator integrante da equação diferencial

y + x - 2 x 2 y 3 d y d x = 0 .

Passo 1

Temos a equação

y + x - 2 x 2 y 3 d y d x = 0 .

Se multiplicarmos tudo por d x , teremos

y d x + x - 2 x 2 y 3 d y = 0 .

Ou seja, a equação estará na forma de uma equação exata/quase exata. Como a questão falou em fator integrante, sabemos que não será exata, então será quase exata.

Sendo uma equação quase exata, multiplicamos pelo fator integrante, ficando

g y x 2 y d x + g y x 2 x - 2 x 2 y 3 d y = 0

e então a equação se tornará uma equação exata. Pelo critério de Euler, necessariamente

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

∂ ∂ y g y x 2 y = ∂ ∂ x g y x 2 x - 2 x 2 y 3

E então usamos essa relação para achar a expressão de g y .

Passo 2

Show, vamos derivar então. Pela regra do produto,

∂ ∂ y g y x 2 y = g ' y x 2 y + g y x 2

E também teremos

∂ ∂ x g y x 2 x - 2 x 2 y 3 = g y ⋅ ∂ ∂ x x - 2 x 2 y 3 x 2

= g y ⋅ 1 - 4 x y 3 x 2 - x - 2 x 2 y 3 2 x x 4 = g y ⋅ 1 - 4 x y 3 x - 2 x - 2 x 2 y 3 x 3

= g y ⋅ x - 4 x 2 y 3 - 2 x + 4 x 2 y 3 x 3 = - g y ⋅ x x 3

= - g y ⋅ 1 x 2 .

Passo 3

Agora igualamos as expressões, ficando

g ' y x 2 y + g y x 2 = - g y ⋅ 1 x 2 .

E então organizamos isso aí:

g ' y ⋅ y x 2 + g y 1 x 2 + 1 x 2 = 0

g ' y ⋅ y x 2 + g y 2 x 2 = 0

Multiplicamos tudo por x 2 :

g ' y ⋅ y + 2 g y = 0

Passo 4

Para ficar claro que que tá rolando, vamos considerar u ≔ g y , assim: y d u d y + 2 u = 0

Dividindo tudo por y :

d u d y + 2 y u = 0

E essa é uma EDO do tipo separável. Colocando tudo que é u de um lado e tudo que é y do outro, vamos ter: d u d y = - 2 y u

d u u = - 2 d y y

E então integramos dos dois lados: ∫ d u u = - 2 ∫ d y y

ln ⁡ u = - 2 ln ⁡ y + K

Isolando u :

u = e - 2 ln ⁡ y e K

Para cortar a exponencial com o log, usamos a propriedade do peteleco: - 2 ln ⁡ y = ln ⁡ y - 2 = ln ⁡ 1 y 2

Então, definindo:

u = e ln ⁡ 1 y 2 e K

u = g y = 1 y 2 e K

Como o problema pediu alguma expressão para g y , podemos fazer e K = 1 e temos uma expressão válida:

g y = 1 y 2

Resposta

g y = 1 y 2

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 1 e 12:(a) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.(b) Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores
Em cada um dos problemas de 1 e 12:(a) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.(b) Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores
Em cada um dos problemas de 1 e 12:(a) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.(b) Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores
Em cada um dos problemas de 1 e 12:(a) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.(b) Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores
Em cada um dos problemas de 1 e 12:(a) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.(b) Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores