Se μ ( t ) é um fator integrante para a equação diferencial x + 1 y ' + x - 1 y = cos ⁡ x , então μ 1 = ?

Passo 1

Oi, tudo bem? Vamos começar calculando esse fator integrante!

Primeiro vamos trocar y ' por d y d x :

x + 1 y ' + x - 1 y = cos ⁡ x  

x + 1 d y d x + x - 1 y - cos ⁡ x = 0

E multiplicar tudo por d x :

( x + 1 ) d y + x y - y - cos ⁡ x d x = 0

Daí da nossa teoria temos:

N = x + 1 ∴ ∂ N ∂ x = 1  

M = x y - y - cos ⁡ x   ∴ ∂ M ∂ y = x - 1

As derivadas mistas não são iguais, como a gente esperaria, então vamos achar nosso fator integrante.

E daí nossa função para ser expoente do fator integrante é:

h x = ∂ M ∂ y - ∂ N ∂ x N = x - 1 - 1 x + 1 = x - 2 x + 1 = x + 3 - 3 - 2 x + 1 = x + 1 - 3 x + 1 = 1 - 3 x + 1

Passo 2

E o fator integrante é:

μ x = e ∫ h ( x ) d x

Vou fazer a parte da integral separadamente:

∫ h ( x ) d x = ∫ 1 d x - 3 ∫ d x x + 1 = x - 3 ln ⁡ x + 1 = x + ln ⁡ x + 1 - 3

E agora o nosso fator integrante é:

μ x = e x . e ln ⁡ x + 1 - 3 = e x . 1 x + 1 3

Passo 3

E agora queremos saber quanto é μ ( 1 ) :

μ x = e x x + 1 3

μ 1 = e 1 + 1 3 = e 8

Resposta

e / 8

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 1 e 12:(a) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.(b) Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores
Em cada um dos problemas de 1 e 12:(a) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.(b) Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores
Em cada um dos problemas de 1 e 12:(a) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.(b) Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores
Em cada um dos problemas de 1 e 12:(a) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.(b) Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores
Em cada um dos problemas de 1 e 12:(a) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.(b) Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores