Exercícios Resolvidos de Equação Não Exata - Fator Integrante

UNICAMP, Cálculo 3, P1 2011 Tarde, Questão 2

Encontre um fator de integrante e resolva a equação:

3 x 2 y + 2 x y + y 3 d x + x 2 + y 2 d y = 0

Passo 1

Bem, quando ela fica com essa cara você já pensa em tentar ver se dá pra tratar ela como EDO exata ou quase exata, né? Então vamos lá

M x , y = 3 x 2 y + 2 x y + y 3 M y x , y = 3 x 2 + 2 x + 3 y 2 N x , y = x 2 + y 2 N x x = 2 x

Como M y x , y N x x , y vemos que ela não é uma EDO exata, resta saber se dá para tratar ela como uma EDO quase exata, para isso vamos fazer uma análise, primeiro vamos tentar:

M y x , y - N x x , y N = h ( x )

3 x 2 + 2 x + 3 y 2 - 2 x x 2 + y 2 = 3 x 2 + y 2 x 2 + y 2 = 3

Bem, é uma constante, então admite o fator integrante:

I = e 3 d x = e 3 x

Assim, multiplicando esse termo na EDO:

e 3 x 3 x 2 y + 2 x y + y 3 d x + e 3 x x 2 + y 2 d y = 0

M x , y = e 3 x 3 x 2 y + 2 x y + y 3

N x , y = e 3 x x 2 + y 2

Então vamos lá, resolver esse cara (Se quiser, é bom verificar se a EDO ficou exata mesmo!)

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Integrando M ( x , y ) em relação a x .

e 3 x 3 x 2 y + 2 x y + y 3 d x = 3 y e 3 x x 2 d x + 2 y e 3 x x d x + y 3 e 3 x d x

Temos umas integrais bem feias pra resolver agora. Vamos usar integração por partes e encarar uma de cada vez.

Passo 3

Primeiro vamos começar com a segunda integral: e 3 x x d x .

u = x

d v = e 3 x d x

e 3 x x d x = u d v = u v - v d u

e 3 x x d x = 1 3 x e 3 x - 1 3 e 3 x d x

e 3 x x d x = 1 3 x e 3 x - 1 9 e 3 x

Passo 4

Calculando agora aquela primeira integral de e 3 x x 2 d x

u = x 2

d v = e 3 x d x

e 3 x x 2 d x = u d v = u v - v d u

e 3 x x 2 d x = 1 3 x 2 e 3 x - 2 3 e 3 x x d x

Como já sabemos o valor de e 3 x x d x

e 3 x x 2 d x = 1 3 x 2 e 3 x - 2 3 1 3 x e 3 x - 1 9 e 3 x

Passo 5

Calculando M ( x , y ) d x

M x , y d x = 3 y 1 3 x 2 e 3 x - 2 3 1 3 x e 3 x - 1 9 e 3 x + 2 y 1 3 x e 3 x - 1 9 e 3 x + y 3 e 3 x 3

M x , y d x = y x 2 e 3 x + y 3 e 3 x 3 + g y

Passo 6

Derivando o obtido no passo 5 com relação a y :

y y x 2 e 3 x + y 3 e 3 x 3 + g y = x 2 e 3 x + y 2 e 3 x + g ' y = e 3 x x 2 + y 2 + g ' y

Igualando com N x , y :

e 3 x x 2 + y 2 + g ' y = e 3 x x 2 + y 2

g ' y = 0

Passo 7

Integrando g ' y :

0 d y = 0

Passo 8

Obtendo a função u x , y = M x , y d x :

u x , y = y x 2 e 3 x + y 3 e 3 x 3 + g y 0

u x , y = y x 2 e 3 x + y 3 e 3 x 3

A solução é dada por u x , y = C :

y x 2 e 3 x + y 3 e 3 x 3 = C

Resposta

I = e 3 x

y x 2 e 3 x + y 3 e 3 x 3 = C

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