Encontre a solução geral da equação diferencial dada.

a) y ' + 3 y = t + e - 2 t

Passo 1

Fala, galera! Vamos responder essa questão.

O enunciado nos deu uma EDO de primeira ordem não homogênea e pediu pra gente encontrar a solução geral dela. Mas como a gente faz isso?

Bom, a nossa EDO tem essa cara aqui:

y ' t + A t ∙ y t = B ( t )

Certo? Sempre que a nossa equação tiver essa cara a nossa solução vai ser dada por:

y t = 1 I t ∫ I t ∙ B t d t + C

Onde

I t = e ∫ A t d t

Calma, vamos por partes. Comparando a nossa equação com a forma geral, temos:

A t = 3

B t = t + e - 2 t

O que nós vamos fazer é calcular a integral ∫ A t d t (sem adicionar a constante). A partir daí, calcular o que chamamos de fator integrante I t e jogar na nossa integral maior para encontrar a solução y ( t ) .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando a integral:

∫ A t d t = ∫ 3 d t

Jogando a constante pro lado de fora:

3 ∫ d t = 3 t

Nosso fator integrante então vai ser:

I t = e ∫ A t d t

I t = e 3 t

Passo 3

Agora vamos substituir tudo na fórmula da solução geral:

y t = 1 I t ∫ I t ∙ B t d t + C

y t = 1 e 3 t ∫ e 3 t ∙ t + e - 2 t d t + C

Aplicando a distributiva ali dentro dos parênteses, temos:

y t = 1 e 3 t ∫ ( t e 3 t + e t ) d t + C

Vamos separar essa integral pra ficar mais fácil de resolver.

Passo 4

Temos:

∫ ( t e 3 t + e t ) d t

Separando a integral da soma na soma das integrais (que é uma propriedade), temos:

∫ t e 3 t d t + ∫ e t d t

A gente sabe que a integral de e t é o próprio e t , mas e a primeira integral? Bom, nós vamos ter que usar a integração por partes, lembra dela? Ela tem a forma:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

O nosso u precisa ser alguém fácil de derivar e o nosso d v precisa ser fácil de integrar. Vamos fazer:

        u = t             →     d u = 1 d t

    d v = e 3 t   →     v = 1 3 e 3 t

Substituindo na integral:

∫ u d v = t 1 3 e 3 t - ∫ 1 3 e 3 t d t

Resolvendo:

t 3 e 3 t - 1 3 ∫ e 3 t d t

= t 3 e 3 t - 1 3 1 3 e 3 t

= t 3 e 3 t - 1 9 e 3 t

Dá pra gente simplificar um pouco mais, colocando o e 3 t em evidência:

e 3 t 3 t - 1 9

Beleza, então nossa integral fica:

∫ t e 3 t + e t d t = e 3 t 3 t - 1 9 + e t

Mas não acabou ainda não. Vamos substituir todo mundo na fórmula da solução geral.

Passo 5

Substituindo o nosso resultado em:

y t = 1 e 3 t ∫ ( t e 3 t + e t ) d t + C

Temos:

y t = 1 e 3 t e 3 t 3 t - 1 9 + e t + C

Ou seja,

y t = 3 t - 1 9 + 1 e 2 t + C e 3 t

E encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉

Resposta

y t = 3 t - 1 9 + 1 e 2 t + C e 3 t

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