Encontre um fator de integrante e resolva a equação:

3 x 2 y + 2 x y + y 3 d x + x 2 + y 2 d y = 0

Passo 1

Bem, bem, quando a equação aparece com essa cara você já pensa em tentar ver se dá pra tratá-la como EDO exata ou quase exata, né? Então vamos lá:

M x , y = 3 x 2 y + 2 x y + y 3 → ∂ M ∂ y x , y = 3 x 2 + 2 x + 3 y 2 N x , y = x 2 + y 2 → ∂ N ∂ y = 2 x

Como deu diferente, vemos que ela não é uma EDO exata. Vamos usar Fator Integrante!

Passo 2

Vamos voltar pra nossa EDO do início:

3 x 2 y + 2 x y + y 3 d x + x 2 + y 2 d y = 0

Vamos multiplicar esse bagulho por um fator integrante I ( x , y ) que vai fazer a EDO ficar exata. Ou seja:

d x 3 x 2 y + 2 x y + y 3 I ( x , y ) + d y x 2 + y 2 I ( x , y ) = 0

Será uma EDO exata. Isso quer dizer que:

∂ ( M x , y I x , y ) ∂ y = ∂ ( N x , y I x , y ) ∂ x

Vamos aplicar a Regra da Cadeia nessa expressão:

∂ M x , y ∂ y I x , y + ∂ I x , y ∂ y M x , y = ∂ N x , y ∂ x I x , y + ∂ I x , y ∂ x N x , y

Agrupando:

I x , y ∂ M x , y ∂ y - ∂ N x , y ∂ x + ∂ I x , y ∂ y M x , y - ∂ I x , y ∂ x N x , y = 0

E aí você vai substituir as expressões de M , N e suas derivadas. No nosso caso, chegamos a:

∂ M x , y ∂ y = 3 x 2 + 2 x + 3 y 2

∂ N x , y ∂ x = 2 x

Substituindo:

I x , y 3 x 2 + 2 x + 3 y 2 - 2 x + ∂ I x , y ∂ y 3 x 2 y + 2 x y + y 3 - ∂ I x , y ∂ x x 2 + y 2 = 0

I x , y 3 x 2 + 3 y 2 + ∂ I x , y ∂ y 3 x 2 y + 2 x y + y 3 - ∂ I x , y ∂ x x 2 + y 2 = 0

Vamos dividir tudo por x 2 + y 2 :

3 I x , y + ∂ I x , y ∂ y 3 x 2 y + 2 x y + y 3 x 2 + y 2 - ∂ I x , y ∂ x = 0

Aí que vem o pulo do gato! Eu posso dizer que I é uma função só de x , aí ∂ I x , y ∂ y = 0 . Assim:

3 I x , y - ∂ I x , y ∂ x = 0

3 I x , y = ∂ I x , y ∂ x

E como I é função só de x , a derivada parcial vira uma derivada normal:

3 I x = ∂ I x ∂ x

∂ I x ∂ x = d I ( x ) d x

Então:

3 I x = d I ( x ) d x

d I ( x ) I ( x ) = 3 d x

ln ⁡ I ( x ) = 3 x

I x = e 3 x

E substituindo na EDO original:

3 x 2 y + 2 x y + y 3 d x + x 2 + y 2 d y = 0

e 3 x 3 x 2 y + 2 x y + y 3 d x + e 3 x x 2 + y 2 d y = 0

Então vamos lá, resolver esse cara (Se quiser, é bom verificar se a EDO ficou exata mesmo!)

Passo 3

Agora vem o paranauê do sabichão, se fosse resolver (E dá pra resolver assim!) iniciando ϕ x = ∂ ϕ ∂ x = e 3 x 3 x 2 y + 2 x y + y 3

A gente vai cair na integral:

ϕ = ∫ e 3 x 3 x 2 y + 2 x y + y 3 d x

Dá pra resolver, y é constante e sai da integral, você vai separá-la em 3 termos. O problema é que pra resolver por exemplo ∫ e 3 x 3 x 2 y d x = 3 y ∫ e 3 x x 2 d x , pra você resolver isso vai ter que fazer duas integrações por partes, chamando inicialmente u = x 2 e d v = e 3 x d x , da pra fazer...mas isso seria muito cansativo. Olhando se você começar por ϕ y :

ϕ y = e 3 x x 2 + y 2 → d ϕ = e 3 x x 2 + y 2 d y → ϕ = ∫ e 3 x x 2 d y + ∫ e 3 x y 2 d y = e 3 x x 2 y + e 3 x y 3 3 + g ( x )

Sacou? Por isso é legal não decorar o procedimento, mas entender o que está sendo feito, assim você pode ir por outro caminho mais fácil!

Passo 4

Agora vamos derivar esse cara com relação a x :

∂ ϕ ∂ x = 3 e 3 x x 2 y + 2 e 3 x x y + e 3 x y 3 + d g x d x

Mas sabemos do início que:

∂ ϕ ∂ x = e 3 x 3 x 2 y + 2 x y + y 3

Igualando:

e 3 x 3 x 2 y + 2 x y + y 3 = 3 e 3 x x 2 y + 2 e 3 x x y + e 3 x y 3 + d g x d x

Daí achamos que:

d g x d x = 0 ↔ g x = 0

OBS: Sim, sim, você pode falar que g x = k , mas de qualquer forma ele vai se juntar com ϕ = C , que é outra constante qualquer, e vai virar outra constante qualquer que eu vou continuar chamando de C , sacou? Isso varia só com a condição inicial ou de contorno.

Assim ficou:

C = e 3 x x 2 y + e 3 x y 3 3 + g x = e 3 x x 2 y + e 3 x y 3 3

Finished!

Resposta

C = e 3 x x 2 y + e 3 x y 3 3

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 1 e 12:(a) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.(b) Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores
Em cada um dos problemas de 1 e 12:(a) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.(b) Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores
Em cada um dos problemas de 1 e 12:(a) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.(b) Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores
Em cada um dos problemas de 1 e 12:(a) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.(b) Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores
Em cada um dos problemas de 1 e 12:(a) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.(b) Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores