Passo 1

A primeira coisa é identificar se nossa equação é linear de primeira ordem. Os pré-requisitos para isso são:

Para ser de primeira ordem a derivada de maior ordem deve ter ordem 1.

1 + x y d x + x d y = 0

Bom, de primeira ordem ela é. Mas para ser linear:

  1. Tanto as derivadas de y quanto o próprio y não podem estar elevados ao quadrado, cubo ou qualquer outro expoente diferente de 1.
  2. Os coeficientes que aparecem multiplicando as derivadas de y e o próprio y dependem apenas de x .

Está tudo de acordo, temos uma equação linear de primeira ordem.

Passo 2

Agora vamos resolvê-la. Essa é uma EDO do tipo separável. Ou seja, isolando a derivada ficamos com o produto de uma função de x e outra de y . Olha só

1 + x y d x + x d y = 0

1 + x y + x d y d x = 0

x d y d x = - 1 + x y

d y d x = - 1 + x y x

Passo 3

Identificada nossa EDO, agora é só separa o que for função de x para um lado e o que for função de y para o outro e integrar.

d y d x = - 1 + x y x

d y y = - 1 + x x d x

∫ d y y = - ∫ 1 x d x - ∫ d x

Integrando vamos ficar com

ln ⁡ y = - ln ⁡ x - x + C '

Atenção! Teríamos constantes de integração dos dois lados da equação, mas podemos uni-las, por isso esse C ' apareceu.

Só falta isolar y agora

ln ⁡ y = ln ⁡ x - 1 - x + C '

y = x - 1 e - x e C '

Vamos escrever

e C ' = C

Então ficamos com

y x = C x e - x

Resposta

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Em cada um dos problemas de 1 e 12:(a) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.(b) Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores
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