Resolva os PVI’s.

(c)   t y '   +   2 y   =   t 2   −   t   +   1 ,   y ( 1 )   =   1 2   ,   t   >   0  

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que determinar a solução geral da equação e em seguida encontrar o valor da constante que satisfaça a condição inicial:

  t y '   +   2 y   =   t 2   −   t   +   1 ,   y ( 1 )   =   1 2   ,   t   >   0  

Reorganizando:

y '   +   2 t y   =   t   −   1   +   1 t

Para isso, vamos utilizar o método do fator integrante. Para uma equação diferencial do tipo:

y ' +   p ( t ) y   = q ( t )

Temos que a solução geral será dada por:

y = e - ∫ p ( t ) d t ( ∫ e ∫ p ( t ) d t q ( t ) d t + C )

Então, identificando

p ( t ) =   2 t ;

q ( t ) =   t   −   1   +   1 t .

Vamos calcular essas integrais e obter a solução geral, em seguida, vamos aplicar a condição inicial e determinar o valor da constante. Então vamos lá!

Passo 2

Primeiro vamos calcular a integral:

∫ p ( t ) d t = 2 ∫ 1 t   d t = 2   l n   t = l n   t 2

Então, temos que:

e ∫ p ( t ) d t = e   l n   t 2 = t 2 .

Assim, podemos resolver a segunda integral:

∫ e ∫ p ( t ) d t q ( t )   d t = ∫ t 2 ( t - 1 + 1 t ) d t = ∫ ( t 3 - t 2 + t )   d t .

Resolvendo a integral, temos que

∫ e ∫ p ( t ) d t q ( t )   d t = t 4 4 - t 3 3 + t 2 2 .

Passo 3

Agora vamos substituir esses resultados na solução geral:

y = e - ∫ p ( t ) d t ( ∫ e ∫ p ( t ) d t q ( t ) d t + C )

y = e l n   t - 2 ( t 4 4 - t 3 3 + t 2 2 + C ) = 1 t 2 ( t 4 4 - t 3 3 + t 2 2 + C )

Então, chegamos na seguinte solução geral:

y = t 2 4 - t 3 + 1 2 + C t 2 .

Passo 4

Agora vamos substituir a condição inicial:

y ( 1 )   =   1 2

y ( 1 )   = 1 4 - 1 3 + 1 2 + C =   1 2  

C = 1 3 - 1 4 = 1 12 .

Assim, temos a solução:

y = t 2 4 - t 3 + 1 2 + 1 12   t 2 .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

y = t 2 4 - t 3 + 1 2 + 1 12   t 2 .

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