Ao encontrar um fator integrante da forma x a y b de modo a tornar exata a equação diferencial, descreva suas soluções:

- 4 x 2 y - 2 x y 2 d x + 2 x 3 - 3 x y d y = 0

Passo 1

Ele disse que quer transformar essa EDO em uma EDO exata com o fator integrante. O fator integrante é aquele cara que multiplicamos a EDO para que ela passe a ser exata. Nesse caso ele já deu a cara do fator integrante, então vamos multiplicar a EDO por ele e ver quando ela vai ser exata.

Passo 2

Vamos ter

λ x , y = x a y b

Multiplicando a EDO por isso vamos ter

- 4 x 2 y x a y b - 2 x y 2 x a y b d x + 2 x 3 x a y b - 3 x y x a y b d y = 0

- 4 x a + 2 y b + 1 - 2 x a + 1 y b + 2 d x + 2 x a + 3 y b - 3 x a + 1 y b + 1 d y = 0

A cara da equação exata é

P x . y d x + Q x , y d y = 0

Então temos

P x , y = - 4 x a + 2 y b + 1 - 2 x a + 1 y b + 2

E

Q x , y = 2 x a + 3 y b - 3 x a + 1 y b + 1

Vamos usar o critério ode Euler e ver se ∂ P ∂ y é igual a ∂ Q ∂ x

∂ P ∂ y = - 4 b + 1 x a + 2 y b - 2 b + 2 x a + 1 y b + 1

E

∂ Q ∂ x = 2 a + 3 x a + 2 y b - 3 a + 1 x a y b + 1

∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x

Assim devemos ter

- 4 b + 1 x a + 2 y b - 2 b + 2 x a + 1 y b + 1 = 2 a + 3 x a + 2 y b - 3 a + 1 x a y b + 1

Vamos analisar isso com calma no próximo passo.

Passo 3

Queremos achar a e b para que

- 4 b + 1 x a + 2 y b - 2 b + 2 x a + 1 y b + 1 = 2 a + 3 x a + 2 y b - 3 a + 1 x a y b + 1

Queremos isso sempre certo? Então os caras com coeficientes iguais devem ser iguais dos dois lados. Assim precisamos ter

- 4 b + 1 = 2 a + 3

- 2 b + 2 = 0

- 3 a + 1 = 0

Assim nos diz que

b + 2 = 0 → b = - 2

a + 1 = 0 → a = - 1

E pela primeira equação temos só uma verificação se isso é certo,

- 4 - 2 + 1 = 2 - 1 + 3

- 4 - 1 = 2.2

4 = 4

Então esses dois valores valem para as duas equações, e assim vamos ter

λ x , y = x - 1 y - 2

Passo 4

A nossa nova equação vai ser encontrada multiplicando aquela do enunciado pelo fator integrante

- 4 x y - 1 - 2 d x + 2 x 2 y - 2 - 3 y - 1 d y = 0

Vamos ter

P x , y = - 4 x y - 1 - 2

E

Q x , y = 2 x 2 y - 2 - 3 y - 1

A primeira coisa que fazemos é integrar Q em relação a y

φ x , y = ∫ Q x , y d y = ∫ 2 x 2 y - 2 - 3 y - 1 d y = ∫ 2 x 2 y - 2 - 3 y d y

φ x , y = 2 x 2 y - 1 - 1 - 3 ln ⁡ y + k x

φ x , y = - 2 x 2 y - 1 - 3 ln ⁡ y + k x

Passo 5

Agora vamos derivar φ em relação a x e comparar com P

∂ φ ∂ x = - 4 x y - 1 + k ' x

E vamos ter

- 4 x y - 1 + k ' x = - 4 x y - 1 - 2

E

k ' x = - 2

Assim vamos ter

k x = - 2 x + C 1

Passo 6

A solução da nossa equação exata vai ser

φ x , y = C

Já temos a nossa função potencial, então

- 2 x 2 y - 1 - 3 ln ⁡ y - 2 x + C 1 = C

Podemos juntar C - C 1 em uma constante só

- 2 x 2 y - 1 - 3 ln ⁡ y - 2 x = C

Resposta

- 2 x 2 y - 1 - 3 ln ⁡ y - 2 x = C

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