Achar a solução geral.

(a) y ' +   3 y   =   t   +   e − 2 t

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que determinar a solução geral da equação:

y ' +   3 y   =   t   +   e − 2 t

Para isso, vamos utilizar o método do fator integrante. Para uma equação diferencial do tipo:

y ' +   p ( t ) y   = q ( t )

Temos que a solução geral será dada por:

y = e - ∫ p ( t ) d t ( ∫ e ∫ p ( t ) d t q ( t ) d t + C )

Então, identificando

p ( t ) = 3 ;

q ( t ) = t   +   e − 2 t .

Vamos calcular essas integrais e obter a solução geral. Então vamos lá!

Passo 2

Primeiro vamos calcular a integral:

∫ p ( t ) d t = ∫ 3   d t = 3 t

Então, temos que:

e ∫ p ( t ) d t = e 3 t

Assim, podemos resolver a segunda integral:

∫ e ∫ p ( t ) d t q ( t )   d t = ∫ e 3 t ( t   +   e − 2 t ) d t = ∫ t e 3 t d t   +   ∫ e t d t .

Resolvendo a primeira integral pelo método de integração por partes, u = t e d v = e 3 t d t :

∫ u   d v = u v - ∫ v d u

∫ t e 3 t d t = t e 3 t 3 - 1 3 ∫ e 3 t d t = t e 3 t 3 - e 3 t 9 .

Voltando, e já resolvendo a segunda integral, temos que

∫ e ∫ p ( t ) d t q ( t )   d t = ∫ t e 3 t d t   +   ∫ e t d t = t e 3 t 3 - e 3 t 9 + e t

Passo 3

Agora vamos substituir esses resultados na solução geral:

y = e - ∫ p ( t ) d t ( ∫ e ∫ p ( t ) d t q ( t ) d t + C )

y = e - 3   t ( t e 3 t 3 - e 3 t 9 + e t + C )

Então, chegamos na seguinte solução geral:

y = ( t 3 - 1 9 + e - 2   t + e - 3   t C ) .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

y = ( t 3 - 1 9 + e - 2   t + e - 3   t C ) .

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