Para cada uma das EDOs a seguir, verifique que ela é não-exata; determine então um fator integrante g, função de somente uma das variáveis; e a seguir obtenha a solução geral da EDO.

(13)   ( 1 ( x   +   1 )   l n ( y - 1 )   + 1 l n ( y - 1 )   )   d x   +   ( - 1 ( y - 1 )   l n ( y - 1 )   )   d y = 0  

Passo 1

Eaew, belezinha?

Primeiro temos que verificar que a EDO não é exata

  ( 1 ( x   +   1 )   l n ( y - 1 )   + 1 l n ( y - 1 )   )   d x   +   ( - 1 ( y - 1 )   l n ( y - 1 )   )   d y = 0  

Sendo que, para uma EDO do tipo:

M ( x ,   y ) d x + N ( x ,   y ) d y = 0

não é exata quando

∂ M ∂ y ≠ ∂ N ∂ x .

Nessa situação, vamos encontrar um fator integrante que permite que a equação seja exata, sendo esse fator g multiplicado na equação:

g M ( x ,   y ) d x + g N ( x ,   y ) d y = 0

P ( x ,   y ) d x + Q ( x ,   y ) d y = 0

permitindo que:

∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x

E sua solução obedece a relação:

∫ P ( x ,   y ) d x + ∫ [ Q ( x ,   y ) - ∂ ∂ y ∫ P ( x ,   y ) d x ] d y = C .

Primeiro vamos determinar o fator de integração, se supormos que ele depende de x, temos que ele obedece a seguinte relação:

1 g d g d x = 1 N ( ∂ M ∂ y - ∂ N ∂ x ) .

Se o lado direito dessa relação depender apenas de x, podemos integrar e obter:

g ( x ) = e x p ( ∫ 1 N ( ∂ M ∂ y - ∂ N ∂ x ) d x ) .

Também podemos fazer um procedimento semelhante se supormos que o fator integrante depende de y:

g ( y ) = e x p ( ∫ 1 M ( ∂ M ∂ y - ∂ N ∂ x ) d y ) .

Então, identificando

M ( x ,   y ) = ( 1 ( x   +   1 )   l n ( y - 1 )   + 1 l n ( y - 1 )   ) ;

N ( x ,   y ) = ( - 1 ( y - 1 )   l n ( y - 1 )   ) .

Vamos verificar que a EDO não é exata, obter o fator integrante e a solução geral. Então vamos lá!

Passo 2

Passo 3

Primeiro vamos calcular as derivadas parciais:

∂ M ∂ y = ∂ ∂ y ( 1 ( x   +   1 )   l n ( y - 1 )   + 1 l n ( y - 1 )   ) = - ( 1 ( x   +   1 )   + 1 ) 1 ( y - 1 )   l n ( y - 1 ) 2  

∂ N ∂ x = ∂ ∂ x ( - 1 ( y - 1 )   l n ( y - 1 )   ) = 0

Então, temos que a EDO não é exata, pois

∂ M ∂ y ≠ ∂ N ∂ x .

Passo 4

Vamos supor que o fator integrante depende de y, então:

g ( y ) = e x p ( ∫ 1 M ( ∂ M ∂ y - ∂ N ∂ x ) d y ) .

Vamos calcular essa integral,

∫ 1 M ( ∂ M ∂ y - ∂ N ∂ x ) d y = ∫ ( - ( 1 ( x   +   1 )   + 1 ) 1 ( y - 1 )   l n ( y - 1 ) 2   ) ( 1 ( x   +   1 )   + 1 ) 1 l n ( y - 1 )   ) d y

∫ 1 M ( ∂ M ∂ y - ∂ N ∂ x ) d y = - ∫ 1 ( y - 1 )   l n ( y - 1 ) d y

∫ 1 M ( ∂ M ∂ y - ∂ N ∂ x ) d y = l n   ( l n ( y - 1 ) ) .

Então,

g ( y ) = e x p ( l n   ( l n ( y - 1 ) ) ) = l n ( y - 1 ) .

Passo 5

Assim, podemos começar a obter a solução. Primeiro vamos reescrever, multiplicando pelo fator de integração e verificando que a equação é exata:

( 1 ( x   +   1 )   + 1 )   d x   +   ( - 1 ( y - 1 )   )   d y = 0

∂ P ∂ y = ∂ ∂ y ( 1 ( x   +   1 )   + 1 ) = 0

∂ Q ∂ x = ∂ ∂ x ( - 1 ( y - 1 )   ) = 0 .

Então agora a equação é exata, pois:

∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x .

Passo 6

Temos que a solução obedece a relação:

∫ P ( x ,   y ) d x + ∫ [ Q ( x ,   y ) - ∂ ∂ y ∫ P ( x ,   y ) d x ] d y = C

Vamos resolver a integral:

∫ P ( x ,   y ) d x = ∫ ( 1 ( x   +   1 )   + 1 ) d x

Resolvendo as integrais simples, temos que

∫ P ( x ,   y ) d x = l n ( x + 1 ) + x .

Passo 7

O próximo passo será resolver a derivada parcial:

∂ ∂ y ∫ P ( x ,   y ) d x = ∂ ∂ y ( l n ( x + 1 ) + x )

∂ ∂ y ∫ P ( x ,   y ) d x = 0

Então, agora podemos resolver a integral:

∫ [ Q ( x ,   y ) - ∂ ∂ y ∫ P ( x ,   y ) d x ] d y = ∫ [ - 1 ( y - 1 )   - ( 0 ) ] d y

∫ [ Q ( x ,   y ) - ∂ ∂ y ∫ P ( x ,   y ) d x ] d y = - l n ( y - 1 ) .

Passo 8

Agora vamos substituir na relação para a solução geral:

∫ P ( x ,   y ) d x + ∫ [ Q ( x ,   y ) - ∂ ∂ y ∫ P ( x ,   y ) d x ] d y = C

l n ( x + 1 ) + x - l n ( y - 1 ) = C

Assim, temos a solução:

l n ( x + 1 ) + x - l n ( y - 1 ) + C = 0 .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

g ( y ) = l n ( y - 1 ) , l n ( x + 1 ) + x - l n ( y - 1 ) + C = 0 .

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