Para cada uma das EDOs a seguir, verifique que ela é não-exata; determine então um fator integrante g, função de somente uma das variáveis; e a seguir obtenha a solução geral da EDO.

(7)   ( 1     ( y   −   1 )   ( x + y )   - 1 ( y - 1 ) )   d x   +   ( 1     ( y   −   1 )   ( x + y )   )   d y = 0  

Passo 1

Eaew, belezinha?

Primeiro temos que verificar que a EDO não é exata

  ( 1     ( y   −   1 )   ( x + y )   - 1 ( y - 1 ) )   d x   +   ( 1     ( y   −   1 )   ( x + y )   )   d y = 0  

Sendo que, para uma EDO do tipo:

M ( x ,   y ) d x + N ( x ,   y ) d y = 0

não é exata quando

∂ M ∂ y ≠ ∂ N ∂ x .

Nessa situação, vamos encontrar um fator integrante que permite que a equação seja exata, sendo esse fator g multiplicado na equação:

g M ( x ,   y ) d x + g N ( x ,   y ) d y = 0

P ( x ,   y ) d x + Q ( x ,   y ) d y = 0

permitindo que:

∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x

E sua solução obedece a relação:

∫ P ( x ,   y ) d x + ∫ [ Q ( x ,   y ) - ∂ ∂ y ∫ P ( x ,   y ) d x ] d y = C .

Primeiro vamos determinar o fator de integração, se supormos que ele depende de x, temos que ele obedece a seguinte relação:

1 g d g d x = 1 N ( ∂ M ∂ y - ∂ N ∂ x ) .

Se o lado direito dessa relação depender apenas de x, podemos integrar e obter:

g ( x ) = e x p ( ∫ 1 N ( ∂ M ∂ y - ∂ N ∂ x ) d x ) .

Também podemos fazer um procedimento semelhante se supormos que o fator integrante depende de y:

g ( y ) = e x p ( ∫ 1 M ( ∂ M ∂ y - ∂ N ∂ x ) d y ) .

Então, identificando

M ( x ,   y ) = (   1     ( y   −   1 )   ( x + y )   - 1 ( y - 1 ) ) ;

N ( x ,   y ) = ( 1     ( y   −   1 )   ( x + y )   ) .

Vamos verificar que a EDO não é exata, obter o fator integrante e a solução geral. Então vamos lá!

Passo 2

Passo 3

Primeiro vamos calcular as derivadas parciais:

∂ M ∂ y = ∂ ∂ y ( 1     ( y   −   1 )   ( x + y )   - 1     ( y   −   1 )   ) = - 1     ( y   −   1 ) 2   ( x + y ) - 1     ( y   −   1 )   ( x + y ) 2   + 1 ( y   −   1 ) 2

∂ N ∂ x = ∂ ∂ x ( 1     ( y   −   1 )   ( x + y )   ) = - 1 ( y   −   1 )   ( x + y ) 2

Então, temos que a EDO não é exata, pois

∂ M ∂ y ≠ ∂ N ∂ x .

Passo 4

Vamos supor que o fator integrante depende de y, então:

g ( y ) = e x p ( ∫ 1 M ( ∂ M ∂ y - ∂ N ∂ x ) d y ) .

Vamos calcular essa integral,

∫ 1 M ( ∂ M ∂ y - ∂ N ∂ x ) d y = ∫ ( - 1     ( y   −   1 ) 2   ( x + y ) - 1     ( y   −   1 )   ( x + y ) 2   + 1 ( y   −   1 ) 2 + 1 ( y   −   1 )   ( x + y ) 2 ) ( 1     ( y   −   1 )   ( x + y )   - 1     ( y   −   1 )   ) d y

∫ 1 M ( ∂ M ∂ y - ∂ N ∂ x ) d y = - ∫ 1   y - 1 d y

∫ 1 M ( ∂ M ∂ y - ∂ N ∂ x ) d y = l n   ( y - 1 ) - 1 .

Então,

g ( y ) = e x p ( l n   ( y - 1 ) - 1 ) = 1 y - 1 .

Passo 5

Assim, podemos começar a obter a solução. Primeiro vamos reescrever, multiplicando pelo fator de integração e verificando que a equação é exata:

(   1     ( x + y )   - 1 )     d x   +     ( 1     ( x + y )   )   d y = 0

∂ P ∂ y = ∂ ∂ y ( 1     ( x + y )   - 1 ) = - 1     ( x + y ) 2  

∂ Q ∂ x = ∂ ∂ x ( 1     ( x + y )   ) = - 1     ( x + y ) 2   .

Então agora a equação é exata, pois:

∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x .

Passo 6

Temos que a solução obedece a relação:

∫ P ( x ,   y ) d x + ∫ [ Q ( x ,   y ) - ∂ ∂ y ∫ P ( x ,   y ) d x ] d y = C

Vamos resolver a integral:

∫ P ( x ,   y ) d x = ∫ ( 1     ( x + y )   - 1 ) d x

Resolvendo as integrais simples, temos que

∫ P ( x ,   y ) d x = l n ( x + y ) - x .

Passo 7

O próximo passo será resolver a derivada parcial:

∂ ∂ y ∫ P ( x ,   y ) d x = ∂ ∂ y ( l n ( x + y ) - x )

∂ ∂ y ∫ P ( x ,   y ) d x = 1     ( x + y )  

Então, agora podemos resolver a integral:

∫ [ Q ( x ,   y ) - ∂ ∂ y ∫ P ( x ,   y ) d x ] d y = ∫ [ 1     ( x + y )   - ( 1     ( x + y )   ) ] d y = 0 .

Passo 8

Agora vamos substituir na relação para a solução geral:

∫ P ( x ,   y ) d x + ∫ [ Q ( x ,   y ) - ∂ ∂ y ∫ P ( x ,   y ) d x ] d y = C

l n ( x + y ) - x + 0 = C

Assim, temos a solução:

l n ( x + y ) - x + C = 0 .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

g ( y ) = 1 y - 1 , l n ( x + y ) - x + C = 0 .

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