Considere o problema de valor inicial

x 2 - 4 y ' + x - 2 y = 0 y 0 = 1

Qual o limite de y ( x ) quando x tende a - ∞ ?

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver?

Primeiro vamos trocar y ' por d y d x :

x 2 - 4 y ' + x - 2 y = 0

( x 2 - 4 ) d y d x + ( x - 2 ) y = 0

E multiplicar tudo por d x :

( x 2 - 4 ) d y + x - 2 d x = 0

Daí da nossa teoria temos:

N = x 2 - 4 ∴ ∂ N ∂ x = 2 x  

M = x - 2 ∴ ∂ M ∂ y = 0

E daí nossa função para ser expoente do fator integrante é:

h x = ∂ M ∂ y - ∂ N ∂ x N

aí substituindo temos:

h x = 0 - 2 x x 2 - 4 = - 2 x x 2 - 4

Passo 2

E o fator integrante é:

μ x = e ∫ h ( x ) d x

Vou fazer a integral do expoente separadamente pra facilitar nossa vida:

∫ - 2 x x 2 - 4 d x = - ∫ d u u = - ln ⁡ u = - ln ⁡ x 2 - 4 = ln ⁡ x 2 - 4 - 1

Aqui usei a técnica de substituição simples chamando u = x 2 - 4 e d u = 2 x   d x , beleza?

Agora substituindo esse resultado na exponencial do fator integrante temos:

μ x = e ln ⁡ x 2 - 4 - 1 = x 2 - 4 - 1 = 1 x 2 - 4

Beleza até aqui?

Passo 3

Agora a gente multiplica a equação toda por 1 x 2 - 4 :

( x 2 - 4 ) d y + x - 2 d x = 0

d y + x - 2 x 2 - 4 d x = 0

d y + d x x + 2 = 2

Agora temos uma equação exata! Saca só:

N = 1

∂ N ∂ x = 0

M = 1 x + 2

∂ M ∂ y = 0

As derivadas mistas são iguais! Agora é só integrar:

∫ N d y = ∫ 1 d y = y + g ( x )

E agora vamos derivar em relação a x :

g ' x = M = 1 x + 2

Daqui temos que

g ' x = 3 x 2 e x 3

g x = ∫ 3 x 2 e x 3 d x = e x 3

E a solução é u x , y = C :

y e x 3 + e x 3 = C

Passo 4

E o problema de valor inicial nos diz que:

y 0 = 1

Daí:

y e x 3 + e x 3 = C

1 e 0 + e 0 = C

C = 2

Então nossa solução é:

y e x 3 + e x 3 = 2

E isolando y :

y e x 3 = 2 - e x 3

y = 2 - e x 3 e x 3

Passo 5

E por fim, o limite de y x quando x → ∞   é:

lim x → ∞ ⁡ y x = lim x → ∞  ⁡ 2 - e x 3 e x 3 = ∞ ∞

Vamos aplicar a regra de L’hopital derivando em cima e embaixo de y x :

( 2 - e x 3 ) ' ( e x 3 ) ' = - 3 x 2 e x 3 3 x 2 e x 3 = - 1

Então nossa função fica independente de x e o limite vai a - 1 :

lim x → ∞ ⁡ y x = lim x → ∞  ⁡ 2 - e x 3 e x 3 = - 1

Resposta

- 1

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