Considere a seguinte EDO:

x y + ( 2 x 2 + 3 y 2 ) y ' = 0

( b ) Encontre, se possível, um fator integrante μ ( y ) que transforme a equação dada em uma equação exata ( μ só depende da variável y ).

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Temos a seguinte equação diferencial ordinária

x y + ( 2 x 2 + 3 y 2 ) y ' = 0

estamos procurando um fator integrante que a torne uma equação diferencial exata! Para isso devemos identificar duas razões, sendo elas

R 1 = ∂ M ( x , y ) ∂ y - ∂ N ( x , y ) ∂ x N ( x , y ) e R 2 = ∂ N ( x , y ) ∂ x - ∂ M ( x , y ) ∂ y M ( x , y )

em que M ( x , y ) = x y e N ( x , y ) = ( 2 x 2 + 3 y 2 ) como demonstramos na alternativa anterior. Das razões acima, a que nos interessa é aquela que depende de apenas uma das variáveis! Vamos partir daí!

Passo 2

Na última alternativa nós obtivemos que

∂ [ M ( x , y ) ] ∂ y = x e ∂ N ( x , y ) ∂ x = 4 x

Usando estes resultados em nossas razões, temos que

R 1 = x - 4 x 2 x 2 + 3 y 2 = - 3 x 2 x 2 + 3 y 2 e R 2 = 4 x - x x y = 3 y

Note que R 2 é uma função apenas de y , portanto iremos utilizar ela para encontrar o fator integrante que queremos! Bora lá!

Passo 3

O fator integrante que torna nossa equação diferencial em uma equação diferencial exata é tal que

μ ( y ) = e ∫ R 2 d y

Substituindo R 2 , temos que

μ ( y ) = e 3 ∫ 1 y d y = e 3   l n ( y )

em que usei

∫ 1 y d y = l n ( y )   + C

mas, por enquanto, podemos ignorar a constante de integração! Apenas usando uma propriedade do logaritmo, podemos escrever

μ ( y ) = e 3   l n ( y ) = e l n ( y 3 )

como a exponencial e o logaritmo neperiano são funções inversas, podemos identificar que

μ ( y ) = y 3

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

μ ( y ) = y 3

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