Para cada uma das EDOs a seguir, verifique que ela é não-exata; determine então um fator integrante g, função de somente uma das variáveis; e a seguir obtenha a solução geral da EDO.

(11)   ( - 1 ( x - y ) 2   )   d x   +   ( 1 ( x - y ) 2 �� + 1 y ( x - y )   + 2 y 4 )   d y = 0  

Passo 1

Eaew, belezinha?

Primeiro temos que verificar que a EDO não é exata

  ( - 1 ( x - y ) 2   )   d x   +   ( 1 ( x - y ) 2   + 1 y ( x - y )   + 2 y 4 )   d y = 0  

Sendo que, para uma EDO do tipo:

M ( x ,   y ) d x + N ( x ,   y ) d y = 0

não é exata quando

∂ M ∂ y ≠ ∂ N ∂ x .

Nessa situação, vamos encontrar um fator integrante que permite que a equação seja exata, sendo esse fator g multiplicado na equação:

g M ( x ,   y ) d x + g N ( x ,   y ) d y = 0

P ( x ,   y ) d x + Q ( x ,   y ) d y = 0

permitindo que:

∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x

E sua solução obedece a relação:

∫ P ( x ,   y ) d x + ∫ [ Q ( x ,   y ) - ∂ ∂ y ∫ P ( x ,   y ) d x ] d y = C .

Primeiro vamos determinar o fator de integração, se supormos que ele depende de x, temos que ele obedece a seguinte relação:

1 g d g d x = 1 N ( ∂ M ∂ y - ∂ N ∂ x ) .

Se o lado direito dessa relação depender apenas de x, podemos integrar e obter:

g ( x ) = e x p ( ∫ 1 N ( ∂ M ∂ y - ∂ N ∂ x ) d x ) .

Também podemos fazer um procedimento semelhante se supormos que o fator integrante depende de y:

g ( y ) = e x p ( ∫ 1 M ( ∂ M ∂ y - ∂ N ∂ x ) d y ) .

Então, identificando

M ( x ,   y ) = ( - 1 ( x - y ) 2   ) ;

N ( x ,   y ) = ( 1 ( x - y ) 2   + 1 y ( x - y )   + 2 y 4 ) .

Vamos verificar que a EDO não é exata, obter o fator integrante e a solução geral. Então vamos lá!

Passo 2

Primeiro vamos calcular as derivadas parciais:

∂ M ∂ y = ∂ ∂ y ( - 1 ( x - y ) 2   ) = - 2 ( x - y ) 3  

∂ N ∂ x = ∂ ∂ x ( 1 ( x - y ) 2   + 1 y ( x - y )   + 2 y 4 ) = - 2 ( x - y ) 3   + 1 y ( x - y ) 2  

Então, temos que a EDO não é exata, pois

∂ M ∂ y ≠ ∂ N ∂ x .

Passo 3

Vamos supor que o fator integrante depende de y, então:

g ( y ) = e x p ( ∫ 1 M ( ∂ M ∂ y - ∂ N ∂ x ) d y ) .

Vamos calcular essa integral,

∫ 1 M ( ∂ M ∂ y - ∂ N ∂ x ) d y = ∫ ( -   2 ( x - y ) 3     +   2 ( x - y ) 3     -   1 y ( x - y ) 2   ) ( -   1 ( x - y ) 2   ) d y

∫ 1 M ( ∂ M ∂ y - ∂ N ∂ x ) d y = - ∫ 1   y d y

∫ 1 M ( ∂ M ∂ y - ∂ N ∂ x ) d y = l n   ( y ) .

Então,

g ( y ) = e x p ( l n   ( y ) ) = y .

Passo 4

Assim, podemos começar a obter a solução. Primeiro vamos reescrever, multiplicando pelo fator de integração e verificando que a equação é exata:

( - y ( x - y ) 2   )   d x   +   ( y ( x - y ) 2   + 1 ( x - y )   + 2 y 3 )   d y = 0

∂ P ∂ y = ∂ ∂ y ( - y ( x - y ) 2   ) = - 1 ( x - y ) 2   -   2 y ( x - y ) 3  

∂ Q ∂ x = ∂ ∂ x ( y ( x - y ) 2   + 1 ( x - y )   + 2 y 3 ) = - 2 y ( x - y ) 3   - 1 ( x - y ) 2   .

Então agora a equação é exata, pois:

∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x .

Passo 5

Temos que a solução obedece a relação:

∫ P ( x ,   y ) d x + ∫ [ Q ( x ,   y ) - ∂ ∂ y ∫ P ( x ,   y ) d x ] d y = C

Vamos resolver a integral:

∫ P ( x ,   y ) d x = ∫ ( - y ( x - y ) 2   ) d x

Resolvendo as integrais simples, temos que

∫ P ( x ,   y ) d x = y ( x - y ) .

Passo 6

O próximo passo será resolver a derivada parcial:

∂ ∂ y ∫ P ( x ,   y ) d x = ∂ ∂ y ( y ( x - y ) )

∂ ∂ y ∫ P ( x ,   y ) d x = 1 ( x - y ) + y ( x - y ) 2

Então, agora podemos resolver a integral:

∫ [ Q ( x ,   y ) - ∂ ∂ y ∫ P ( x ,   y ) d x ] d y = ∫ [ y ( x - y ) 2   + 1 ( x - y )   + 2 y 3 - ( 1 ( x - y ) + y ( x - y ) 2 ) ] d y = y

∫ [ Q ( x ,   y ) - ∂ ∂ y ∫ P ( x ,   y ) d x ] d y = ∫ [ 2 y 3 ] d y = - 1 y 2 .

Passo 7

Agora vamos substituir na relação para a solução geral:

∫ P ( x ,   y ) d x + ∫ [ Q ( x ,   y ) - ∂ ∂ y ∫ P ( x ,   y ) d x ] d y = C

y ( x - y ) - 1 y 2 = C

Assim, temos a solução:

y ( x - y ) - 1 y 2 + C = 0 .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

g ( y ) = y , y ( x - y ) - 1 y 2 + C = 0 .

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