Resolva a seguinte equação diferencial ou problema de valor inicial conforme caso abaixo:

2 y 2 + 3 x d x + 2 x y d y = 0

Passo 1

O problema não nos deu condições de valor inicial. Então, vamos ter uma constante indeterminada no final.

Temos aqui uma equação com d x e d y separados e com funções multiplicando os dois. Assim temos uma equação na forma: M x , y d x + N x , y d y = 0

Então, podemos verificar se é uma função exata. Para isso, começamos usando o critério de Euler:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x ⟹ E q .   e x a t a

Para isso, vamos começar derivando:

∂ M ∂ y = ∂ 2 y 2 + 3 x ∂ y = 4 y

Agora vamos derivar N em relação a x . Analogamente, vamos ter: ∂ N ∂ x = ∂ 2 x y ∂ x = 2 y

Putz, temos então que

∂ M ∂ y ≠ ∂ N ∂ x

Ou seja, não temos uma equação exata :/

Mas a fé não acaba, vamos tentar resolver essa equação não-exata usando fator integrante.

Passo 2

Para encontrar o fator integrante, verificamos nossos candidatos. O primeiro candidato vai ser dado por: ∂ M ∂ y - ∂ N ∂ x N → h x

Se essa expressão for uma função apenas de x, então esse será nosso candidato. Substituindo o que já encontramos: ∂ M ∂ y - ∂ N ∂ x N = 4 y - 2 y 2 x y = 1 x = h x

Essa é uma função só de x , então adotamos a expressão para calcular o nosso fator integrante.

Passo 3

O fator integrante vai ser dado por:

I x = e ∫ h x d x = e ∫ 1 x d x = e ln ⁡ x = x

Show! Ficou bem bonito esse fator integrante aí.

Passo 4

Agora, vamos multiplicar nossa equação por esse fator integrante: x 2 y 2 + 3 x d x + x 2 x y d y = 0

E testando para equação exata novamente:

∂ M ∂ y = ∂ x 2 y 2 + 3 x ∂ y = 4 x y

∂ N ∂ x = ∂ x 2 x y ∂ x = ∂ 2 x 2 y ∂ x = 4 x y

OPA! Agora deu igual! Então podemos resolver como sendo uma equação exata!

Passo 5

Como agora temos aqui uma equação exata, a solução vai ser dada implicitamente por:

∫ M x , y d x = u x , y = C

Então, vamos precisar calcular essa integral. Para isso temos: ∫ M x , y d x = ∫ 2 x y 2 + 3 x 2 d x = x 2 y 2 + x 3 + g y

Aparece esse g y , porque estamos integrando em relação a x .

Para completar a solução, precisamos determinar esse g y . Fazemos isso comparando: ∂ ∂ y ∫ M x , y d x = N x , y

Passo 6

Então vamos derivar:

∂ ∂ y ∫ M x , y d x = ∂ ∂ y x 2 y 2 + x 3 + g y = 2 x 2 y + g ' y

Passo 7

E então vamos comparar:

∂ ∂ y ∫ M x , y d x = N x , y

2 x 2 y + g ' y = 2 x 2 y

g ' y = 0

Passo 8

Então, encontramos g y integrando g ' y :

g y = ∫ g ' y d y = ∫ 0 d y = 0

Aqui não precisamos colocar a constante. Ela vai aparecer no final.

Passo 9

Legal, agora já podemos escrever nossa solução:

∫ M x , y d x = u x , y = C

u x , y = x 2 y 2 + x 3 + g y = C

u x , y = x 2 y 2 + x 3 = C

Resposta

u x , y = x 2 y 2 + x 3 = C

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