Achar a solução geral.

(c) y ' +   y   =   t e - t +   1  

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que determinar a solução geral da equação:

y ' +   y   =   t e - t +   1

Para isso, vamos utilizar o método do fator integrante. Para uma equação diferencial do tipo:

y ' +   p ( t ) y   = q ( t )

Temos que a solução geral será dada por:

y = e - ∫ p ( t ) d t ( ∫ e ∫ p ( t ) d t q ( t ) d t + C )

Então, identificando

p ( t ) = 1 ;

q ( t ) = t e - t + 1 .

Vamos calcular essas integrais e obter a solução geral. Então vamos lá!

Passo 2

Primeiro vamos calcular a integral:

∫ p ( t ) d t = ∫   d t = t

Então, temos que:

e ∫ p ( t ) d t = e t

Assim, podemos resolver a segunda integral:

∫ e ∫ p ( t ) d t q ( t )   d t = ∫ e t ( t e - t + 1 ) d t = ∫ ( t + e t ) d t .

Resolvendo as integrais, temos que

∫ e ∫ p ( t ) d t q ( t )   d t = t 2 2 + e t

Passo 3

Agora vamos substituir esses resultados na solução geral:

y = e - ∫ p ( t ) d t ( ∫ e ∫ p ( t ) d t q ( t ) d t + C )

y = e - t ( t 2 2 + e t + C )

Então, chegamos na seguinte solução geral:

y = ( t 2 e - t 2 + 1 + e - t C ) .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

y = ( t 2 e - t 2 + 1 + e - t C ) .

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