Achar a solução geral.

(f)   t   y '   −   y   =   t 2 e - t   ,   t   >   0    

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que determinar a solução geral da equação:

  t   y '   −   y   =   t 2 e - t   ,   t   >   0  

Reescrevendo:

y '   -   1 t y   =   t   e - t

Para isso, vamos utilizar o método do fator integrante. Para uma equação diferencial do tipo:

y ' +   p ( t ) y   = q ( t )

Temos que a solução geral será dada por:

y = e - ∫ p ( t ) d t ( ∫ e ∫ p ( t ) d t q ( t ) d t + C )

Então, identificando

p ( t ) = - 1 t ;

q ( t ) = t e - t .

Vamos calcular essas integrais e obter a solução geral. Então vamos lá!

Passo 2

Primeiro vamos calcular a integral:

∫ p ( t ) d t = - ∫ 1 t   d t =   l n   t

Então, temos que:

e ∫ p ( t ) d t = e   - l n   t = e   l n   t - 1 = 1 t

Assim, podemos resolver a segunda integral:

∫ e ∫ p ( t ) d t q ( t )   d t = ∫ 1 t t   e - t d t = ∫   e - t d t .

Resolvendo a integral, temos que

∫ e ∫ p ( t ) d t q ( t )   d t = - e - t .

Passo 3

Agora vamos substituir esses resultados na solução geral:

y = e - ∫ p ( t ) d t ( ∫ e ∫ p ( t ) d t q ( t ) d t + C )

y = e l n   t ( - e - t + C )

Então, chegamos na seguinte solução geral:

y = ( - t e - t + t   C ) .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

y = - t e - t + t   C .

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