Encontre a solução geral da equação diferencial dada.

d) y ' + 1 t y = 3 cos ⁡ ( 2 t ) ,     t > 0

Passo 1

Fala, galera! Vamos responder essa questão.

O enunciado nos deu uma EDO de primeira ordem não homogênea e pediu pra gente encontrar a solução geral dela. Mas como a gente faz isso?

Bom, a nossa EDO tem essa cara aqui:

y ' t + A t ∙ y t = B ( t )

Certo? Sempre que a nossa equação tiver essa cara a nossa solução vai ser dada por:

y t = 1 I t ∫ I t ∙ B t d t + C

Onde

I t = e ∫ A t d t

Calma, vamos por partes. Comparando a nossa equação com a forma geral, temos:

A t = 1 t

B t = 3 cos ⁡ ( 2 t )

O que nós vamos fazer é calcular a integral ∫ A t d t (sem adicionar a constante). A partir daí, calcular o que chamamos de fator integrante I t e jogar na nossa integral maior para encontrar a solução y ( t ) .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando a integral:

∫ A t d t = ∫ 1 t d t

∫ 1 t d t = ln ⁡ t

Nosso fator integrante então vai ser:

I t = e ∫ A t d t

I t = e ln ⁡ t

Como a função exponencial é a inversa da função logarítmica, temos:

I t = t

Passo 3

Agora vamos substituir tudo na fórmula da solução geral:

y t = 1 I t ∫ I t ∙ B t d t + C

y t = 1 t ∫ t ∙ 3 cos ⁡ ( 2 t ) d t + C

Aplicando a distributiva ali dentro dos parênteses, temos:

y t = 1 t ∫ 3 t cos ⁡ ( 2 t ) d t + C

Podemos jogar a constante para fora da integral:

y t = 3 t ∫ t cos ⁡ ( 2 t ) d t + C

Vamos resolver essa integral separadamente pra ficar mais claro.

Passo 4

Temos um produto de duas funções no nosso integrando:

∫ t cos ⁡ ( 2 t ) d t

Então, vamos resolver usando o método da integração por partes, lembra dele? Ele tem a forma:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

O nosso u precisa ser fácil de derivar e o nosso d v fácil de integrar. Então vamos escolher:

u = t → d u = d t

d v = cos ⁡ ( 2 t ) → v = ∫ cos ⁡ ( 2 t ) = 1 2 sin ⁡ ( 2 t )

Substituindo isso na integral, temos:

t ∙ 1 2 sin ⁡ 2 t - ∫ 1 2 sin ⁡ ( 2 t ) d t

Resolvendo:

t 2 sin ⁡ 2 t - 1 2 ∫ sin ⁡ ( 2 t ) d t

t 2 sin ⁡ 2 t - 1 2 cos ⁡ 2 t 2

t 2 sin ⁡ 2 t - cos ⁡ 2 t 4

Beleza, agora vamos substituir esse resultado na nossa solução geral.

Passo 5

Substituindo em:

y t = 3 t ∫ t cos ⁡ ( 2 t ) d t + C

Temos:

y t = 3 t t 2 sin ⁡ 2 t - cos ⁡ 2 t 4 + C

Simplificando:

y t = 3 2 sin ⁡ 2 t - 3 4 t cos ⁡ 2 t + 3 C t

E encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉

Resposta

y t = 3 2 sin ⁡ 2 t - 3 4 t cos ⁡ 2 t + 3 C t

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