Resolva as equações diferenciais:

h ) y ' + y = 1 e x

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Vou te ajudar nessa questão! Bora! Precisamos resolver essa equação diferencial ordinária aqui

y ' + y = 1 e x  

Você tasca o olho nessa equação e percebe que ela pode ser escrita como y ' + P x y = Q ( x )

E aí você logo lembra: Fator integrante! E é isso mesmo!

São duas as pistas que te ajudam a identificar que vamos usar esse método:

  • é que tem um y ali dando sopa!
  • Todos os coeficientes ou são constantes, ou dependem apenas de x !

Nosso fator integrando vai ser

μ = e ∫ P ( x ) d x

E a solução y

y μ = ∫ μ Q ( x ) d x

Beleza? Agora é só identificar no nosso problema, integrar e #partiu achar solução!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa edo é

y ' + y = 1 e x

Nossa edo já está no formato que queremos! Temos que

P x = 1 ; Q x = 1 e x

E o nosso fator integrante fica assim

μ = e ∫ d x

Aí temos

μ = e x

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora que calculamos nosso fator integrante, vamos para a solução!

A solução y ( x ) via fator integrante é essa aqui

y μ = ∫ μ Q ( x ) d x

Agora é substituir na solução y ( x ) !

y μ = ∫ μ Q ( x ) d x

y . e x = ∫ e x . 1 e x d x

Agora basta resolver!

y . e x = ∫ d x

Tudo bem até aqui? Agora é só integrar!

y . e x = x + C

Aí nossa solução fica assim

y x = x e - x + C e - x

Beleza?

E é isso! Acabou a questão! Vamos para a próxima?

Resposta

y x = x e - x + C e - x

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Em cada um dos problemas de 1 e 12:(a) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.(b) Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores
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