Passo 1

Ele já nos fala que a ideia é resolver uma EDO exata, então vamos colocar nesse formato.

d y d x = e 2 x + y - 1

1 - y - e 2 x d x + d y = 0

P x = 1 - y - e 2 x

Q x = 1

Ele já fala de cara que a EDO não é exata e é bem fácil de conferir, mas vamos conferir como treino.

∂ P ∂ y = - 1

∂ Q ∂ x = 0

∂ P ∂ y ≠ ∂ Q ∂ x

Passo 2

Vamos encontrar o fator integrante. Como Q ( x ) é uma função bem mais simples que P ( x ) vamos tentar encontrar um fator integrante em função de x .

h x = ∂ P ∂ y - ∂ Q ∂ y Q = - 1 - 0 1 = - 1

Sendo assim o fator integrante será.

λ x = e ∫ - 1 d x = e - x

Passo 3

Vamos multiplicar a nossa EDO pelo fator integrante.

e - x 1 - y - e 2 x d x + e - x d y = 0

Vamos conferir se a equação ficou exata.

∂ P ∂ y = - e - x

∂ Q ∂ x = - e - x

A equação ficou exata mesmo então já podemos continuar a resolução como se fosse para uma EDO exata normal.

Passo 4

Integrando P ( x , y ) em relação a x

∫ P x , y d x = ∫ e - x 1 - y - e 2 x d x = ∫ e - x d x - y ∫ e - x d x - ∫ e x d x

∫ P x , y d x = - e - x + y e - x - e x

Passo 5

Integrando Q ( x , y ) em relação a y .

∫ Q x , y d y = ∫ e - x d y = y e - x

Passo 6

Calculando ∫ ∫ ∂ P ∂ y d x d y

∫ ∫ ∂ P ∂ y d x d y = ∫ ∫ - e - x d x d y = ∫ e x d y = y e x

Passo 7

Somando o resultado obtido nos passos 4 e 5 e subtraindo o resultado encontrado no passo 6.

u = - e - x + y e - x - e x + y e - x - y e - x

u = - e - x + y e - x - e x

Como u deve ser uma constante

C = - e - x + y e - x - e x

y = C e x + 1 + e 2 x

Resposta

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