Resolva os PVI’s.

(a)   y ' −   y   =   2 t e 2 t   ,   y ( 0 )   =   1  

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que determinar a solução geral da equação e em seguida encontrar o valor da constante que satisfaça a condição inicial:

  y ' −   y   =   2 t e 2 t   ,   y ( 0 )   =   1  

Para isso, vamos utilizar o método do fator integrante. Para uma equação diferencial do tipo:

y ' +   p ( t ) y   = q ( t )

Temos que a solução geral será dada por:

y = e - ∫ p ( t ) d t ( ∫ e ∫ p ( t ) d t q ( t ) d t + C )

Então, identificando

p ( t ) = - 1 ;

q ( t ) = 2 t e 2 t .

Vamos calcular essas integrais e obter a solução geral, em seguida, vamos aplicar a condição inicial e determinar o valor da constante. Então vamos lá!

Passo 2

Primeiro vamos calcular a integral:

∫ p ( t ) d t = - ∫   d t = - t

Então, temos que:

e ∫ p ( t ) d t = e   - t

Assim, podemos resolver a segunda integral:

∫ e ∫ p ( t ) d t q ( t )   d t = 2 ∫ e - t t   e 2 t d t = 2 ∫   t   e t d t .

Resolvendo a integral pelo método de integração por partes, u = t e d v = e t d t :

∫ u   d v = u v - ∫ v d u

∫ t e t d t = t e t - ∫ e t d t = t e t - e t .

Voltando, temos que

∫ e ∫ p ( t ) d t q ( t )   d t = 2 t e t - 2 e t

Passo 3

Agora vamos substituir esses resultados na solução geral:

y = e - ∫ p ( t ) d t ( ∫ e ∫ p ( t ) d t q ( t ) d t + C )

y = e t ( 2 t e t - 2 e t + C )

Então, chegamos na seguinte solução geral:

y = 2 t e 2 t - 2 e 2 t + e t C .

Passo 4

Agora vamos substituir a condição inicial:

y ( 0 )   =   1  

y ( 0 )   = - 2 + C =   1  

C = 3 .

Assim, temos a solução:

y = 2 t e 2 t - 2 e 2 t + 3 e t .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

y = 2 t e 2 t - 2 e 2 t + 3 e t .

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