Dada a equação diferencial 2 y ' + y = 0 assinale a alternativa que contenha uma solução dessa equação:

  1. y = - x e - x 2
  2. y = e - x 2
  3. y = e x 2  

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos nessa?

Primeiro vamos trocar y ' por d y d x :

2 y ' + y = 0  

2 d y d x + y = 0

E multiplicar tudo por d x :

2 d y + y d x = 0

Daí da nossa teoria temos:

M = 2 ∴ ∂ M ∂ x = 0  

N = y ∴ ∂ N ∂ y = 1

E daí nossa função para ser expoente do fator integrante é:

h x = ∂ N ∂ y - ∂ M ∂ x M = 1 - 0 2 = 1 2

Passo 2

E o fator integrante é:

μ x = e ∫ h ( x ) d x = e ∫ 1 2 d x = e x / 2

E assim a resposta correta é a (c).

Então é isso pessoal! Terminamos!

Espero ter te ajudado!

Resposta

( c )

Passo 2

A função f é:

f x , y = x y + y 2

Aí o gradiente é:

∇ → f = ∂ ∂ x f   i ^ + ∂ ∂ y f   j ^ = y   i ^ + x + 2 y j ^

E agora aplicando no ponto P ( 3,2 ) temos:

∇ → f = 2 i ^ + 3 + 2.2 j ^ = 2 i ^ + 7 j ^

Beleza até aqui?

Passo 3

Um vetor v → qualquer pode ser o v → = a i ^ + b j ^ e o produto escalar do vetor v → com o gradiente aplicado no ponto é a multiplicação – componente a componente – dos dois vetores:

∇ → f ⋅ v → = 2,7 ⋅ a , b = 2 a + 7 b

E esse produto tem que ser zero, daí temos a condição que:

2 a + 7 b = 0

E aqui temos várias opções! Duas opções são:

a = - 7 b = + 2

Ou

a = + 7 b = - 2

Mas esse vetor precisa estar normalizado (e pra isso o sinal não interessa, a normalização independe do sinal =D). Então vamos à normalização da primeira opção:

v → = - 7 2 + + 2 2 = 53

E aí o vetor normalizado cuja direção nos dá a derivada nula é:

n 1 → = - 7 53 , + 2 53  

Ou

n 2 → = + 7 53 , - 2 53

Então é isso pessoal! Terminamos!

Espero ter te ajudado!

=D

Resposta

n 1 → = - 7 53 , + 2 53   o u     n 2 → = + 7 53 , - 2 53  

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