Achar a solução geral.

(d) y ' +   ( 1 / t ) y   =   3   c o s   2 t ,   t   >   0  

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que determinar a solução geral da equação:

y ' +   ( 1 / t ) y   =   3   c o s   2 t ,   t   >   0

Para isso, vamos utilizar o método do fator integrante. Para uma equação diferencial do tipo:

y ' +   p ( t ) y   = q ( t )

Temos que a solução geral será dada por:

y = e - ∫ p ( t ) d t ( ∫ e ∫ p ( t ) d t q ( t ) d t + C )

Então, identificando

p ( t ) = 1 / t ;

q ( t ) = 3   c o s   2 t .

Vamos calcular essas integrais e obter a solução geral. Então vamos lá!

Passo 2

Primeiro vamos calcular a integral:

∫ p ( t ) d t = ∫ 1 t   d t = l n   t

Então, temos que:

e ∫ p ( t ) d t = e l n   t = t

Assim, podemos resolver a segunda integral:

∫ e ∫ p ( t ) d t q ( t )   d t = ∫ t ( 3   c o s   2 t ) d t = 3 ∫ t   c o s   2 t   d t .

Resolvendo a integral pelo método de integração por partes, u = t e d v = c o s   2   t   d t :

∫ u   d v = u v - ∫ v d u

∫ t   c o s   2 t   d t = t   s e n   2 t 2 - 1 2 ∫ s e n   2 t   d t = t   s e n   2 t 2 + c o s   2 t 4 .

Voltando,

∫ e ∫ p ( t ) d t q ( t )   d t = 3 ( t   s e n   2 t 2 + c o s   2 t 4 )

Passo 3

Agora vamos substituir esses resultados na solução geral:

y = e - ∫ p ( t ) d t ( ∫ e ∫ p ( t ) d t q ( t ) d t + C )

y = e - l n   t ( 3   t   s e n   2 t 2 + 3   c o s   2 t 4 + C )

Então, chegamos na seguinte solução geral:

y = 1 t ( 3   t   s e n   2 t 2 + 3   c o s   2 t 4 + C ) .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

y = 1 t ( 3   t   s e n   2 t 2 + 3   c o s   2 t 4 + C ) .

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