Considere o problema de valor inicial

x y ' + 2 y = x 2 y 1 = 0

Qual o limite de y x x quando x tende a ?

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

Primeiro vamos trocar y ' por d y d x :

x y ' + 2 y = x 2

x d y d x + 2 y - x 2 = 0

E multiplicar tudo por d x :

( x ) d y + 2 y - x 2 d x = 0

Daí da nossa teoria temos:

N = x ∴ ∂ N ∂ x = 1  

M = 2 y - x 2 ∴ ∂ M ∂ y = 2

E daí nossa função para ser expoente do fator integrante é:

h x = ∂ M ∂ y - ∂ N ∂ x N = 2 - 1 x = 1 x

Passo 2

E o fator integrante é:

μ x = e ∫ h ( x ) d x = e ∫ 1 x d x = e ln ⁡ x   = x

Beleza até aqui?

Passo 3

Agora a gente multiplica a equação toda por x :

( x ) d y + 2 y - x 2 d x = 0

x 2 d y + 2 y x - x 3 d x = 0

Agora temos uma equação exata! Saca só:

N = x 2

∂ N ∂ x = 2 x

M = 2 y x - x 3

∂ M ∂ y = 2 x

E agora temos que a derivada parcial mista deve ser igual:

∫ M d x = ∫ 2 y x - x 3 d x = y x 2 - x 4 4 + g y = u ( x , y )

E agora vamos derivar em relação a y :

x 2 - x 3 + g ' y = M = 2 y x - x 3

Daqui temos que

g ' y = 2 y x - x 2

g y = ∫ 2 y x - x 2   d y = y 2 x - x 2 y

E a solução é u x , y = C :

y x 2 - x 4 4 + y 2 x - x 2 y = C

- x 4 4 + y 2 x = C

Passo 4

E o problema de valor inicial nos diz que:

y 1 = 0

Daí:

y x 2 - x 4 4 = C

0 . 1 2 - 1 4 4 = C

C = - 1 4

Então nossa solução é:

- x 4 4 + y 2 x = - 1 4

E colocando y em evidência:

y 2 x = - 1 4 + x 4 4

y 2 = - 1 - x 4 4 x = x 4 - 1 4 x

y = x 4 - 1 4 x

Passo 5

E por fim, o limite de y x x quando x → ∞ é:

lim x → ∞ ⁡ y x x = lim x → ∞ ⁡ 1 x .   x 4 - 1 4 x = lim x → ∞ ⁡ x 4 - 1 4 x 3 = lim x → ∞ ⁡   x 4 4 x 3 - 1 4 x 3 = ∞  

Resposta

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