Dada a equação diferencial y ' + 1 t y = 3 cos ⁡ 2 t assinale a alternativa que contenha um fator integrante para essa equação:

  1. μ t = e t
  2. μ t = t
  3. μ t = t e t  

Passo 1

Fala pessoal, tudo belezinha? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos nessa juntos?

Primeiro vamos trocar y ' por d y d t :

y ' + 1 t y = 3 cos ⁡ 2 t  

d y d t + y t = 3 cos ⁡ 2 t

E multiplicar tudo por d t e passar tudo pro lado esquerdo igualando a zero na direita:

d y + y t - 3 cos ⁡ 2 t d t = 0

Daí da nossa teoria temos:

M = 1 ∴ ∂ M ∂ t = 0  

N = y t - 3 cos ⁡ 2 t   ∴ ∂ N ∂ y = 1 t

E daí nossa função para ser expoente do fator integrante é:

h t = ∂ N ∂ y - ∂ M ∂ t M = 1 t - 0 1 = 1 t

Passo 2

E o fator integrante é:

μ t = e ∫ h ( t ) d t = e ∫ 1 t d t = e ln ⁡ t = t

E assim a resposta correta é a (b).

Então é isso pessoal! Terminamos!

Espero ter te ajudado!

Resposta

( b )

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