Considere o problema de valor inicial

y ' + 4 x y = x 4 y 1 = 1

Qual o limite de y ( x ) quando x tende a 1 ?

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver?

Primeiro vamos trocar y ' por d y d x :

y ' + 4 x y = x 4

d y d x + 4 y x - x 4 = 0

E multiplicar tudo por d x :

( 1 ) d y + 4 y x - x 4 d x = 0

Daí da nossa teoria temos:

N = 1 ∴ ∂ N ∂ x = 0  

M = 4 y x - x 4 ∴ ∂ M ∂ y = 4 x

E daí nossa função para ser expoente do fator integrante é:

h x = ∂ M ∂ y - ∂ N ∂ x N

h x = 4 x - 0 1 = 4 x

Passo 2

E o fator integrante é:

μ x = e ∫ h ( x ) d x = e ∫ 4 x d x = e 4 ln ⁡ x = e ln ⁡ x 4 = x 4

Beleza até aqui?

Passo 3

Agora a gente multiplica a equação toda por x 4 :

( 1 ) d y + 4 y x - x 4 d x = 0

x 4 d y + x 4 4 y x - x 4 d x = 0

x 4 d y + 4 x 3 y - x 8 d x = 0

Agora temos uma equação exata! Saca só:

N = x 4

∂ N ∂ x = 4 x 3

M = 4 x 3 y - x 8

∂ M ∂ y = 4 x 3

E agora temos que a derivada parcial mista deve ser igual:

∫ M d x = ∫ 4 x 3 d x = x 4 + g y = u ( x , y )

E agora vamos derivar em relação a y :

g ' y = N = x 4

Daqui temos que

g ' y = x 4

g y = ∫ x 4 d y = x 4 y + C

E a solução é u x , y = C :

x 4 + x 4 y = C

Passo 4

E o problema de valor inicial nos diz que:

y 1 = 1

Daí:

x 4 + x 4 y = C

1 + 1.1 = C

C = 2

Então nossa solução é:

x 4 + x 4 y = 2

E isolando y :

y x 4 = 2 - x 4

y = 2 - x 4 x 4

Passo 5

E por fim, o limite de y x quando x → 1 é:

lim x → 1 ⁡ y x = lim x → 1 ⁡ 2 - x 4 x 4 = 2 - 1 1 = 1

Resposta

1

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