Passo 1

Vamos multiplicar essa equação pelo fator integrante para descobrirmos o valor de k , ok?

P x = y k + 1 x   e Q x = ( y k + 2 - y k ln ⁡ x )

Pelas derivadas parciais temos:

∂ Q ∂ x = - y k x

∂ P ∂ y = k + 1 y k x

Assim vamos igualar para encontrar o valor de k , então:

k + 1 =   - 1   ⟹ k = - 2

Assim, multiplicando a equação pelo fator integrante temos:

P x = 1 x y   e Q x = ( 1 - ln ⁡ x y 2 )

Agora sim temos uma equação exata e vamos resolver do jeito que já conhecemos.

Passo 2

Seja ϕ x , y = C   a solução da equação exata, então podemos escrever:

∂ ϕ ∂ x = 1 x y ∂ ϕ ∂ x = 1 - ln ⁡ x y 2

Vamos integrar a primeira equação em relação a x , ok?

ϕ = ln ⁡ x y + c ( y )

Derivando em relação a y :

c ' y =   1   ⇒ c y = y

Então temos que a solução da equação é:

ln ⁡ x y + y = C

Pela condição inicial:

y 1 = 2

Então:

ln ⁡ 1 2 + 2 = C   ⟹ C = 2

Resposta

ln ⁡ x y + y = 2

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