Considere a seguinte EDO:

x y + ( 2 x 2 + 3 y 2 ) y ' = 0

( a ) Mostre que esta equação não é exata.

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Temos a seguinte equação diferencial ordinária

x y + ( 2 x 2 + 3 y 2 ) y ' = 0

e precisamos verificar se esta é uma equação diferencial exata! Mas, quais são as condições? Uma equação diferencial exata pode ser escrita no formato

M ( x , y ) d x + N ( x , y ) d y = 0

e, também deve obedecer a igualdade

∂ M ( x , y ) ∂ y = ∂ N ( x , y ) ∂ x

Vamos checar as duas condições! Vem comigo!

Passo 2

Para verificar a primeira condição, vamos usar que y ' = d y d x , e portanto, podemos escrever

x y + ( 2 x 2 + 3 y 2 ) d y d x = 0

vamos multiplicar os dois lados por d x , de forma que temos

x y   d x   +   ( 2 x 2 + 3 y 2 ) d y = 0

Se usarmos que M ( x , y ) = x y e que N ( x , y ) = ( 2 x 2 + 3 y 2 ) , então a primeira condição é válida! Falta ainda verificar a segunda condição! Vamos lá!

Passo 3

Para a segunda condição precisamos calcular as derivadas parciais, vamos começar com

∂ [ M ( x , y ) ] ∂ y = ∂ [ x y ] ∂ y

Derivadas parciais tomam como constantes toda variável que não está sendo derivada, portanto, temos simplesmente que

∂ [ x y ] ∂ y = x ∂ [ y ] ∂ y = x

Vamos agora calcular a segunda derivada parcial, que é da forma

∂ N ( x , y ) ∂ x = ∂ [ 2 x 2 + 3 y 2 ] ∂ x = 2 ∂ [ x 2 ] ∂ x + 3 ∂ [ y 2 ] ∂ x

como estamos derivando em x , y 2 é tomado como constante, e sua derivada será zero. A derivada é então dada por

2 ∂ [ x 2 ] ∂ x + 3 ∂ [ y 2 ] ∂ x = 2 [ 2 x 2 - 1 ] + 0 = 4 x

em que usei a regra do tombo. Saca só, temos que

∂ M ( x , y ) ∂ y ≠ ∂ N ( x , y ) ∂ x

Portanto, a equação diferencial não é exata! A primeira alternativa era isso! Te vejo jajá para a próxima!

Resposta

Ao longo dos passos!

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Em cada um dos problemas de 1 e 12:(a) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.(b) Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores
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