Exercícios Resolvidos de Equação Não Exata - Fator Integrante

UNICAMP, Cálculo 3, Exame 2012, Questão 1

Encontre um fator integrante e resolva a equação dada

y   d x + 2 x y - e - 2 y d y = 0

Passo 1

Olha aí, tem cara de equação exata, mas não é exata.

Por que não? Porque

M x , y = y M y = 1

N x , y = 2 x y - e - 2 y N x = 2 y

e vemos que

M y N x

Assim, precisamos de fato de um fator integrante para resolver esta equação quase exata.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos calcular assim:

h x = M y - N x N

h x = 1 - 2 y 2 x y - e - 2 y

Paaaara aí! Isso não é uma função só de x ...

Então vamos tentar o outro:

f y = N x - M y M

f y = 2 y - 1 y = 2 - 1 y

Ahh agora sim – que alívio! =)

Passo 3

Beleza, então vamos encontrar o fator integrante agora:

I y = e     f y d y

I y = e     2 - 1 y d y

I y = e 2 y - l n | y |

I y = e 2 y 1 y

E multiplicamos a equação toda por ele:

e 2 y 1 y . y   d x + e 2 y 1 y . 2 x y - e - 2 y d y = 0

e 2 y   d x + 2 x e 2 y - 1 y d y = 0

Passo 4

A nova equação é exata, aí fazemos o mesmo procedimento:

M x , y = e 2 y M y = 2 e 2 y

N x , y = 2 x e 2 y - 1 y N x = 2 e 2 y

Agora sim,

M y = N x

Passo 5

Vamos tomar primeiro a integral

    M x , y d x = e 2 y d x = x e 2 y + g y

E derivamos isso com relação a y :

y x e 2 y + g y = 2 x e 2 y + g ' y

Passo 6

Igualando o obtido no passo 5 com N x , y :

2 x e 2 y - 1 y = 2 x e 2 y + g ' y

g ' y = - 1 y

Integrando para obtermos g y (sem acrescentar a constante):

g ' y d y = - 1 y d y = - ln y

Passo 7

Obtenha a função u x , y =     M x , y d x :

u x , y = x e 2 y - ln y

A solução é dada por u x , y = C :

x e 2 y - ln y = C

Resposta

I y = e 2 y 1 y

x e 2 y - ln y = C

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