Achar a solução geral.

(b) y '   −   2 y   =   t 2 e 2 t

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que determinar a solução geral da equação:

y '   −   2 y   =   t 2 e 2 t

Para isso, vamos utilizar o método do fator integrante. Para uma equação diferencial do tipo:

y ' +   p ( t ) y   = q ( t )

Temos que a solução geral será dada por:

y = e - ∫ p ( t ) d t ( ∫ e ∫ p ( t ) d t q ( t ) d t + C )

Então, identificando

p ( t ) = - 2 ;

q ( t ) = t 2   e 2 t .

Vamos calcular essas integrais e obter a solução geral. Então vamos lá!

Passo 2

Primeiro vamos calcular a integral:

∫ p ( t ) d t = - ∫ 2   d t = - 2 t

Então, temos que:

e ∫ p ( t ) d t = e - 2 t

Assim, podemos resolver a segunda integral:

∫ e ∫ p ( t ) d t q ( t )   d t = ∫ e - 2 t ( t 2 e 2 t ) d t = ∫ t 2 d t .

Resolvendo a integral, temos que

∫ e ∫ p ( t ) d t q ( t )   d t = t 3 3

Passo 3

Agora vamos substituir esses resultados na solução geral:

y = e - ∫ p ( t ) d t ( ∫ e ∫ p ( t ) d t q ( t ) d t + C )

y = e 2 t ( t 3 3 + C )

Então, chegamos na seguinte solução geral:

y = ( t 3 e 2 t 3 + e 2 t C ) .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

y = ( t 3 e 2 t 3 + e 2 t C ) .

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