Resolva os PVI’s.

(e)   t y '   +   ( t   +   1 ) y   =   t ,   y ( l n   2 )   =   1 ,   t   >   0  

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que determinar a solução geral da equação e em seguida encontrar o valor da constante que satisfaça a condição inicial:

  t y '   +   ( t   +   1 ) y   =   t ,   y ( l n   2 )   =   1 ,   t   >   0  

Reorganizando:

y '   +   ( 1 +   1 t ) y   = 1

Para isso, vamos utilizar o método do fator integrante. Para uma equação diferencial do tipo:

y ' +   p ( t ) y   = q ( t )

Temos que a solução geral será dada por:

y = e - ∫ p ( t ) d t ( ∫ e ∫ p ( t ) d t q ( t ) d t + C )

Então, identificando

p ( t ) =   1 +   1 t ;

q ( t ) = 1 +   1 t .

Vamos calcular essas integrais e obter a solução geral, em seguida, vamos aplicar a condição inicial e determinar o valor da constante. Então vamos lá!

Passo 2

Primeiro vamos calcular a integral:

∫ p ( t ) d t = ∫ ( 1 +   1 t )   d t = t +   l n   t

Então, temos que:

e ∫ p ( t ) d t = e   t + l n   t = t   e t .

Assim, podemos resolver a segunda integral:

∫ e ∫ p ( t ) d t q ( t )   d t = ∫ t   e t d t .

Resolvendo a integral pelo método de integração por partes, u = t e d v = e t d t :

∫ u   d v = u v - ∫ v d u

∫ t e t d t = t e t - ∫ e t d t = t e t - e t .

Voltando, temos que

∫ e ∫ p ( t ) d t q ( t )   d t = t e t - e t

Passo 3

Agora vamos substituir esses resultados na solução geral:

y = e - ∫ p ( t ) d t ( ∫ e ∫ p ( t ) d t q ( t ) d t + C )

y = e - t -   l n   t ( t e t - e t + C ) = e - t t ( t e t - e t + C )

Então, chegamos na seguinte solução geral:

y = 1 - 1 t + C   e - t t .

Passo 4

Agora vamos substituir a condição inicial:

y ( l n   2 )   = 1

y ( l n   2 )   = 1 - 1 l n   2 + C   e - l n   2 l n   2 =   1  

C   2   l n   2 = 1 l n   2

C = 2 .

Assim, temos a solução:

y = 1 - 1 t + 2   e - t t .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

y = 1 - 1 t + 2   e - t t .

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