Considere o problema de valor inicial

y ' + 3 x 2 y = e x - x 2 y 0 = 1

Qual o limite de y ( x ) quando x tende a + ∞ ?

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver?

Primeiro vamos trocar y ' por d y d x :

y ' + 3 x 2 y = e x - x 2

d y d x + 3 x 2 y - e x - x 2 = 0

E multiplicar tudo por d x :

( 1 ) d y + 3 x 2 y - e x - x 2 d x = 0

Daí da nossa teoria temos:

N = 1 ∴ ∂ N ∂ x = 0  

M = 3 x 2 y - e x - x 2 ∴ ∂ M ∂ y = 3 x 2

E daí nossa função para ser expoente do fator integrante é:

h x = 3 x 2 - 0 1 = 3 x 2

Passo 2

E o fator integrante é:

μ x = e ∫ h ( x ) d x = e ∫ 3 x 2 d x = e x 3

Beleza até aqui?

Passo 3

Agora a gente multiplica a equação toda por e x 3 :

( 1 ) d y + 3 x 2 y - e x - x 2 d x = 0

e x 3 d y + e x 3 3 x 2 y - e x - x 2 d x = 0

e x 3 d y + 3 x 2 y e x 3 - e x - x 2 + x 3 d x = 0

Agora temos uma equação exata! Saca só:

N = e x 3

∂ N ∂ x = 3 x 2 e x 3

M = 3 x 2 y e x 3 - e x - x 2 + x 3

∂ M ∂ y = 3 x 2 e x 3

E agora temos que a derivada parcial mista deve ser igual:

∫ N d y = ∫ e x 3 d y = y e x 3 + g ( x )

E agora vamos derivar em relação a y :

g ' x + 3 x 2 y e x 3 = M = 3 x 2 y e x 3 - e x - x 2 + x 3

Daqui temos que

g ' x = - e x - x 2 + x 3

g x = ∫ 3 x 2 e x 3 d x = e x 3

E a solução é u x , y = C :

y e x 3 + e x 3 = C

Passo 4

E o problema de valor inicial nos diz que:

y 0 = 1

Daí:

y e x 3 + e x 3 = C

1 e 0 + e 0 = C

C = 2

Então nossa solução é:

y e x 3 + e x 3 = 2

E isolando y :

y e x 3 = 2 - e x 3

y = 2 - e x 3 e x 3

Passo 5

E por fim, o limite de y x quando x → ∞   é:

lim x → ∞ ⁡ y x = lim x → ∞  ⁡ 2 - e x 3 e x 3 = ∞ ∞

Vamos aplicar a regra de L’hopital derivando em cima e embaixo de y x :

( 2 - e x 3 ) ' ( e x 3 ) ' = - 3 x 2 e x 3 3 x 2 e x 3 = - 1

Então nossa função fica independente de x e o limite vai a - 1 :

lim x → ∞ ⁡ y x = lim x → ∞  ⁡ 2 - e x 3 e x 3 = - 1

Resposta

- 1

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