Determine a solução geral da equação

y d x + x ln ⁡ x + 2 y e y 2 d y = 0

Passo 1

Pela forma que ele já colocou a EDO, fica intuitivo verificar se ela é exata ou não, sacou?

Identificar as variáveis(De acordo com o que aprendemos na teoria):

M x , y = y

N x , y = x ln ⁡ x + 2 y e y 2

E então fazer o teste:

∂ M ∂ y = 1

∂ N ∂ x = ln ⁡ x + 2 y e y 2 + 1 ( R e g r a   d o   p r o d u t o )

Então:

∂ M ∂ y ≠ ∂ N ∂ x

Opa, essa EDO não é exata.

Passo 2

Vamos ver agora se ela tem algum fator integrante.

E de acordo com a teoria devemos achar primeiro o possível fator integrante sendo uma função que depende só de x :

h x = ∂ M ∂ y - ∂ N ∂ x N = 1 - ln ⁡ x + 2 y e y 2 + 1 x ln ⁡ x + 2 y e y 2 = - 1 x

Como 1 x é uma função que só depende de x , o fator integrante que segue será válido:

λ = e ∫ h x d x = e ∫ - 1 x d x = e - ln ⁡ x = x - 1 = 1 x

Isso para x > 0 , Então é só multiplicar a EDO por esse termo:

y x d x + ln ⁡ x + 2 y e y 2 d y = 0

Passo 3

Agora temos uma EDO exata:

y x d x + ln ⁡ x + 2 y e y 2 d y = 0

Identifique os termos:

M x , y = y x

N x , y = ln ⁡ x + 2 y e y 2

Vamos ver:

∂ M ∂ y = 1 x

∂ N ∂ x = 1 x

E vemos que as derivadas são iguais, é realmente exata! Bem, vamos integrar M x , y com relação a x :

∫ M x , y d x = ∫ y x d x = y ln ⁡ x + k y

Derivando esse cara com relação a y :

∂ y ln ⁡ x + k y ∂ y = ln ⁡ x + k ' ( y )

Mas sabemos que isso tem que ser igual ao que encontramos na EDO:

ln ⁡ x + k ' y = ln ⁡ x + 2 y e y 2

Assim:

k ' y = 2 y e y 2

Mas sabemos que:   k ' y = d k y d y :

d k y d y = 2 y e y 2

Separando:

d k y = 2 y e y 2 d y

Integrando de ambos lados:

k y = ∫ 2 y e y 2 d y

Fazendo a substituição simples: u = y 2 → d u = 2 y d y

k u = ∫ e u d u = e u

Voltando a substituição:

k y = e y 2

Subsituindo isso na função φ x , y que achamos inicialmente:

φ x , y = y ln ⁡ x + e y 2 = C

Resposta

y ln ⁡ x + e y 2 = C

Onde C = C o n s t a n t e ∈ R

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