Resolva os PVI’s.

(b)   y ' +   2 y   =   t e − 2 t   ,   y ( 1 )   =   0  

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que determinar a solução geral da equação e em seguida encontrar o valor da constante que satisfaça a condição inicial:

  y ' +   2 y   =   t e − 2 t   ,   y ( 1 )   =   0  

Para isso, vamos utilizar o método do fator integrante. Para uma equação diferencial do tipo:

y ' +   p ( t ) y   = q ( t )

Temos que a solução geral será dada por:

y = e - ∫ p ( t ) d t ( ∫ e ∫ p ( t ) d t q ( t ) d t + C )

Então, identificando

p ( t ) = 2 ;

q ( t ) = t e - 2 t .

Vamos calcular essas integrais e obter a solução geral, em seguida, vamos aplicar a condição inicial e determinar o valor da constante. Então vamos lá!

Passo 2

Primeiro vamos calcular a integral:

∫ p ( t ) d t = 2 ∫   d t = 2 t

Então, temos que:

e ∫ p ( t ) d t = e   2 t

Assim, podemos resolver a segunda integral:

∫ e ∫ p ( t ) d t q ( t )   d t = ∫ e 2 t t   e - 2 t d t = ∫ t   d t .

Resolvendo a integral, temos que

∫ e ∫ p ( t ) d t q ( t )   d t = t 2 2 .

Passo 3

Agora vamos substituir esses resultados na solução geral:

y = e - ∫ p ( t ) d t ( ∫ e ∫ p ( t ) d t q ( t ) d t + C )

y = e - 2 t ( t 2 2 + C )

Então, chegamos na seguinte solução geral:

y = t 2 e - 2 t 2 + e - 2 t C .

Passo 4

Agora vamos substituir a condição inicial:

y ( 1 )   =   0

y ( 1 )   = e - 2 2 + e - 2 C =   1  

C = e 2 - 1 2 .

Assim, temos a solução:

y = t 2 e - 2 t 2 + e - 2 t ( e 2 - 1 2 ) = t 2 e - 2 t 2 + 1 - e - 2 t 2 .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

y = t 2 e - 2 t 2 + 1 - e - 2 t 2 .

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