Classifique e resolva a equação abaixo com o método apropriado.

x + 3 x 3 s e n y d x + x 4 c o s y d y = 0               x > 0

Passo 1

Hmmmm essa EDO está com cara de exata! Você lembra como é uma EDO exata? Se liga só:

M x , y d x + N x , y d y = 0

Onde M y = N x . Vamos ver se a nossa EDO é exata? É só checar se ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (que é o que está escrito ali do lado hehe).

M x , y = x + 3 x 3 s e n y → M y = 3 x 3 c o s y

N x , y = x 4 c o s y → N x = 4 x 3 c o s y

POOOXA!!! Deu diferente Mas repara que foi por pouco. Se a gente dividir a EDO original toda por x (e podemos porque x > 0 ) , teremos uma equação exata.

1 + 3 x 2 s e n y d x + x 3 c o s y d y = 0

M x , y = 1 + 3 x 2 s e n y → M y = 3 x 2 c o s y

N x , y = x 3 c o s y → N x = 3 x 2 c o s y

Passo 2

Agora simmmm!!! Então vamos começar a resolver. Primeiro, calculamos o seguinte:

F = ∫ N x , y d y = ∫ x 3 c o s y d y = x 3 s e n y + h x

Passo 3

Derivamos F com respeito a x e igualamos a M ( x , y ) :

∂ F ∂ x = M x , y → 3 x 2 s e n y + h ' x = 1 + 3 x 2 s e n y → h ' x = 1 → h ( x ) = x

Então x + x 3 s e n y = k é a solução implícita.

Resposta

x + x 3 s e n y = k

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Em cada um dos problemas de 1 e 12:(a) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.(b) Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores
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