Determine uma equação diferencial ordinária de primeira ordem tal que

y x = 1 + c x ,   c ∈ R

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa solução

y x = 1 + c x ,   c ∈ R

E pediu para determinarmos uma equação diferencial que resulte isso!

Mas como resolver ela?

Precisamos organizar de uma forma mais simpática

y x = x + c

Beleza?

Agora, olhando a solução de uma equação diferencial resolvida por fator integrante temos o seguinte

y μ = ∫ μ Q ( x ) d x

Então podemos fazer uma analogia aqui! A equação diferencial que deu origem a isso é

y ' + P x y = Q ( x )

E

μ = e ∫ P ( x ) d x

Então nossa missão é encontrar as funções P e Q

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar olhando nossa solução

y x = x + c

Então sabemos que

y μ = ∫ μ Q ( x ) d x

μ = x

Beleza? E agora podemos achar P ( x ) através do fator integrante

μ = e ∫ P ( x ) d x

x = e ∫ P ( x ) d x

Aí temos

ln ⁡ x = ∫ P ( x ) d x

ficou bem mais tranquilo né?

Concluímos que

P x = 1 x

Passo 3

Agora vamos achar a outra função!

y μ = ∫ μ Q ( x ) d x

E nossa solução

y x = x + c

Sabendo que μ = x , aí

∫ x Q ( x ) d x = x + c

Para que a integral resulte em x + c precisamos que o integrando seja apenas d x ! Assim

Q x = 1 x

Assim nossa equação diferencial é

y ' + P x y = Q ( x )

y ' + y x = 1 x

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

y ' + y x = 1 x

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