Considere o problema de valor inicial

y ' + 5 x 4 y = x 4 y 0 = y 0

Qual o limite de y ( x ) quando x tende a ?

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

Primeiro vamos trocar y ' por d y d x :

y ' + 5 x 4 y = x 4

d y d x + 5 x 4 y - x 4 = 0

E multiplicar tudo por d x :

( 1 ) d y + 5 x 4 y - x 4 d x = 0

Daí da nossa teoria temos:

N = 1 ∴ ∂ N ∂ x = 0  

M = 5 x 4 y - x 4 ∴ ∂ M ∂ y = 5 x 4

E daí nossa função para ser expoente do fator integrante é:

h x = 5 x 4 - 0 1 = 5 x 4

Passo 2

E o fator integrante é:

μ x = e ∫ h ( x ) d x = e ∫ 5 x 4 d x = e x 5

Beleza até aqui?

Passo 3

Agora a gente multiplica a equação toda por e x 5 :

( 1 ) d y + 5 x 4 y - x 4 d x = 0

e x 5 d y + e x 5 5 x 4 y - x 4 d x = 0

Agora temos uma equação exata! Saca só:

N = e x 5

∂ N ∂ x = 5 x 4 e x 5

M = 5 x 4 y - x 4 e x 5

∂ M ∂ y = 5 x 4 e x 5

E agora temos que a derivada parcial mista deve ser igual:

∫ N d y = ∫ e x 5 d y = y e x 5 + g x = u ( x , y )

E agora vamos derivar em relação a x :

g ' x + 5 x 4 e x 5 y = M = 5 x 4 e x 5 y - x 4 e x 5

Daqui temos que

g ' x = - x 4 e x 5

g x = ∫ - x 4 e x 5 d x = ∫ - 1 5 e u d u = - 1 5 e x 5

aqui fiz substituição simples e chamei u = x 5 e d u = 5 x 4 d x . Tranquilo?

E a solução é u x , y = C :

e x 5 y + - 1 5 e x 5 = C

Passo 4

E o problema de valor inicial nos diz que:

y 0 = y 0

Daí:

e x 5 y + - 1 5 e x 5 = C

e 0 y 0 - 1 5 y 0 = C

C = y 0 - y 0 5 = 4 y 0 5

Então nossa solução é:

e x 5 y + - 1 5 e x 5 = 4 y 0 5

E isolando y :

y e x 5 = 4 y 0 5 + e x 5 5

y = 4 y 0 + e x 5 5 e x 5

Passo 5

E por fim, o limite de y x quando x → ∞ é:

lim x → ∞ ⁡ y x = lim x → ∞ ⁡ 4 y 0 + e x 5 5 e x 5 = lim x → ∞ ⁡ 4 y 0 5 e x 5 - lim x → ∞ ⁡ e x 5 5 e x 5 = 1 ∞ - 1 5 = - 1 5

Resposta

- 1 5

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