Achar um fator integrante da equação

y 2 d x   +   ( x y   +   1 ) d y   =   0

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para encontrar um fator integrante da seguinte equação:

y 2 d x   +   ( x y   +   1 ) d y   =   0

Mas o que é esse fator integrante?

Bom... O fator integrante é uma função multiplicativa que é usada para transformar uma equação diferencial ordinária (EDO) não-exata em uma forma exata, facilitando assim a sua resolução.

Ele é definido como a função μ ( x ) que, quando multiplicada pela equação diferencial original, faz com que ela se torne exata.

Dessa forma, para uma EDO da forma geral d y d x   +   P ( x ) y   =   Q ( x ) , o fator integrante μ ( x ) é dado por:

μ x = e ∫ P x d x

E aí? Bora lá resolver??!!

😉

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação na forma padrão:

d y d x   =   - y 2 x   - 1 x

Comparando com a forma geral d y d x   +   P ( x ) y   =   Q ( x ) , temos:

P ( x )   =   - 1 x

Q ( x )   =   - y 2 x

Para encontrar o fator integrante, multiplicamos toda a equação por μ ( x ) :

μ ( x )   *   d y d x   +   μ ( x )   *   P ( x )   *   y   =   μ ( x )   *   Q ( x )

Lembrando que o fator integrante μ ( x ) é dado por:

μ x = e ∫ P x d x

Agora, vamos calcular a integral ∫ P x d x para descobrirmos o fator integrante.

Passo 3

Calculando a integral de P ( x ) :

∫ - 1 x d x   =   - l n | x |

Portanto, o fator integrante μ ( x ) é dado por:

μ x =   e - ln ⁡ x ∴

μ x = 1 x

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

μ x = 1 x

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 1 e 12:(a) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.(b) Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores
Em cada um dos problemas de 1 e 12:(a) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.(b) Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores
Em cada um dos problemas de 1 e 12:(a) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.(b) Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores
Em cada um dos problemas de 1 e 12:(a) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.(b) Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores
Em cada um dos problemas de 1 e 12:(a) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.(b) Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores