Determine a solução geral da equação diferencial:

y ln ⁡ y + y e x d x + x + y cos ⁡ y d y = 0 ,     y > 0

Passo 1

Opa, com essa cara você já fica esperto pra ver se é exata ou quase exata né? Exatamente isso, vamos ver:

P x = y ln ⁡ y + y e x → P y = ∂ ∂ y y ln ⁡ y + ∂ ∂ y y e x = ln ⁡ y + 1 + e x

Se lembra de regra da derivada do produto? Foi o que usamos, fica atento a esses paranauês!

Q x = x + y cos ⁡ y → Q x = 1

Como vemos: Q x ≠ P y

Então esse cara não é exato! Temos achar um fator integrante, certão?

Passo 2

Achando o fator integrante, se:

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y P = f ( y )

Então ele admite o fator integrante e ∫ f y d y

Vamos ver isso daí:

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y Q = 1 - ln ⁡ y + 1 + e x y ln ⁡ y + y e x = 1 - ln ⁡ y - 1 - e x y ln ⁡ y + y e x = - ln ⁡ y + e x y ln ⁡ y + e x = - 1 y = f ( y )

Opa!! Deu certo, viu? Não desista jovem. Então admite o fator integrante:

e ∫ f y d y = e ∫ - 1 y d y = e ln ⁡ y - 1 = y - 1

Para y > 0 temos que:

e ∫ f y d y = 1 y

Esse daí é o fator integrante, então é só multiplicar ele na EDO quase exata que ela vira exata!

ln ⁡ y + e x d x + x y + cos ⁡ y d y = 0

Que beleza, agora podemos resolver normalmente (Faz um teste rapidinho pra ver se ficou exata mesmo??!)

Passo 3

Então vamos lá, só pra relambrar, eu sei que existe uma função ϕ tal que d ϕ = ∂ ϕ ∂ x d x + ∂ ϕ ∂ y d y , isso é uma forma de analisar a variação de uma função que depende de duas variáveis ( x   e   y ) , não se assuste. Não fica com a cara da EDO que o cara propôs? Onde:

∂ ϕ ∂ x = ln ⁡ y + e x = P ( x )

E

∂ ϕ ∂ y = x y + cos ⁡ y = Q ( x )

E como d ϕ = 0 → ϕ = c

A gente que encontrar é esse ϕ , isso é solucionar essa EDO exata! Estou falando isso só pra dar aquela revisada!

Então podemos integrar:

∂ ϕ ∂ x = ln ⁡ y + e x → ϕ = ∫ ln ⁡ y + e x d x = x ln ⁡ y + e x + g ( y )

Essa função que apareceu que depende só de y é a “constante” que sai da integral indefinida, mas como integramos com relação a x , y é tratado como constante, por isso ela aparece dependente de y . Agora vamos derivar esse cara com relação a y :

∂ ϕ ∂ y = x y + d g y d y

Mas opa, vimos la em cima que:

∂ ϕ ∂ y = x y + cos ⁡ y

Substituindo:

x y + cos ⁡ y = x y + d g y d y

Daí temos que:

d g y d y = cos ⁡ ( y ) → g y = ∫ cos ⁡ ( y ) d y = sen ⁡ ( y )

“Por que esse cara não tem constante? Calma jovem, é porque essa constante iria se juntar com a constante ϕ = c e viraria outra constante qualquer, então não altera o resultado!

Agora vamos substituindo isso naquele ϕ que fizemos lá em cima:

ϕ = x ln ⁡ y + e x + g y = x ln ⁡ y + e x + sen ⁡ ( y ) = c

Desculpa se a volta foi grande, resolvi fazer uma revisão para esclarecer qualquer dúvida! Se não curtiu manda um report que eu tiro! Finish!

Resposta

x ln ⁡ y + e x + sen ⁡ ( y ) = c

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