Encontre a solução geral da equação diferencial dada.

c) y ' + y = t e - t + 1

Passo 1

Fala, galera! Vamos responder essa questão.

O enunciado nos deu uma EDO de primeira ordem não homogênea e pediu pra gente encontrar a solução geral dela. Mas como a gente faz isso?

Bom, a nossa EDO tem essa cara aqui:

y ' t + A t ∙ y t = B ( t )

Certo? Sempre que a nossa equação tiver essa cara a nossa solução vai ser dada por:

y t = 1 I t ∫ I t ∙ B t d t + C

Onde

I t = e ∫ A t d t

Calma, vamos por partes. Comparando a nossa equação com a forma geral, temos:

A t = 1

B t = t e - t + 1

O que nós vamos fazer é calcular a integral ∫ A t d t (sem adicionar a constante). A partir daí, calcular o que chamamos de fator integrante I t e jogar na nossa integral maior para encontrar a solução y ( t ) .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando a integral:

∫ A t d t = ∫ 1 d t

= t

Nosso fator integrante então vai ser:

I t = e ∫ A t d t

I t = e t

Passo 3

Agora vamos substituir tudo na fórmula da solução geral:

y t = 1 I t ∫ I t ∙ B t d t + C

y t = 1 e t ∫ e t ∙ t e - t + 1 d t + C

Aplicando a distributiva ali dentro dos parênteses, temos:

y t = 1 e t ∫ t + e t d t + C

Resolvendo a integral ali dentro, temos:

y t = 1 e t t 2 2 + e t + C

Então, a nossa solução vai ser:

y t = t 2 2 e t + 1 + C e t

E encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉

Resposta

y t = t 2 2 e t + 1 + C e t

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