Exercícios Resolvidos de Equação Não Exata - Fator Integrante

PUC-RJ, Cálculo 3, P1 2013.2, Questão 4

Considere a equação diferencial

y 2 sen x d x + y f x d y = 0

a Determine todas as funções f x que tornam exata a equação diferencial

b Encontre a solução geral g x , y = c da equação diferencial usando a f x achada no item a .

Passo 1

a )

Ele quer que essa função seja exata, para isso vamos usar o critério de Euler sabendo que M x , y = y 2 sen x e N x , y = y f x . A função M é sempre a que multiplica d x e a função N é sempre a que multiplica d y .

M y = 2 y sen x

N x = y f ' x

Como queremos M y = N x para ela ser exata vamos ter

2 y sen x = y f ' x

f ' x = 2 sen x

Isso nos diz que

f x = - 2 cos x + C 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b )

Vamos agora resolver essa equação exata, vamos passar a ter M x , y = y 2 sen x e N x , y = y - 2 cos x + C 1

Integrando M x , y em relação a x

y 2 sen x   d x = y 2 - cos x + A y = - y 2 cos x + A y

Passo 3

Derivando o obtido com relação a y :

y - y 2 cos x + A y = - 2 y cos x + A ' y

E igualando a N x , y :

- 2 y cos x + A ' y = y - 2 cos x + C 1

A ' y = C 1 y

Passo 4

Ache A y integrando A ' y (não precisa colocar a constante de integração):

A ' y d y = C 1 y d y = C 1 y 2 2

Passo 5

Obtenha a função g x , y = M x , y d x

g x , y = - y 2 cos x + C 1 y 2 2

A solução é dada por g x , y = C :

- y 2 cos x + C 1 y 2 2 = C

Resposta

a f x = - 2 cos x + C 1

b g x , y = - y 2 cos x + C 1 y 2 2 = C

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