Determine uma função u ( y ) de maneira que λ x ,   y = x y seja um fator integrante para a equação diferencial.

2 y 2 - 6 x ∙ u ( y ) d x + 3 x y - 4 x 2 d y = 0

NÃO RESOLVA A EDO ACIMA!

Passo 1

Bem, vamos começar reduzindo a equação acima á uma equação diferencial exata.

Pela teoria, basta multiplica-la pelo fator integrante que a gente quer:

λ x , y ∙ 2 y 2 - 6 x ∙ u y d x + 3 x y - 4 x 2 d y = 0 →

2 x y 3 - 6 x 2 y ∙ u y d x + 3 x 2 y 2 - 4 x 3 y d y = 0

Passo 2

Se a equação acima está reduzida a uma equação diferencial exata, que condições necessariamente ela deve obedecer?

Então, Se a gente chamar

2 x y 3 - 6 x 2 y ∙ u y ⏟ M ( x , y ) d x + 3 x 2 y 2 - 4 x 3 y ⏟ N ( x , y ) d y = 0

Necessariamente ela deve obedecer

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Bem, então aqui não tem muito mistério, basta derivar e aplicar a igualdade, Bora?

Passo 3

Calculando então a primeira derivada parcial, não se esquecendo da regra do produto

∂ M ∂ y = 2 ∙ 3 x y 2 - 6 x 2 u y + y ∙ u ' ( y )

Ou seja

∂ M ∂ y = 6 x y 2 - 6 x 2 u y - 6 x 2 y ∙ u ' ( y )

Calculando a derivada parcial de N x ,   y = 3 x 2 y 2 - 4 x 3 y em relação a x

∂ N ∂ x = 3 ∙ 2 x y 2 - 4 ∙ 3 x 2 y

∂ N ∂ x = 6 x y 2 - 12 x 2 y

Passo 4

Bem, se a gente voltar para a condição de que se trata de uma equação diferencial exata e portanto

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Substituindo...

6 x y 2 - 6 x 2 u y - 6 x 2 y ∙ u ' y = 6 x y 2 - 12 x 2 y →

Cortando esse 6 x y 2 de um lado e do outro

- 6 x 2 u y - 6 x 2 y ∙ u ' y = - 12 x 2 y →

6 x 2 u y + 6 x 2 y ∙ u ' y = 12 x 2 y →

Dividindo todo mundo por 6 x 2

6 x 2 u y 6 x 2 + 6 x 2 y 6 x 2 ∙ u ' y = 12 x 2 y 6 x 2 →

u y + y ∙ u ' y = 2 y

Repare bem que encontrar u é encontrar a solução da EDO acima, bora lá?:)

Passo 5

Se você reparar bem, o primeiro lado da equação diferencial u y + y ∙ u ' y é a derivada do produto

y ∙ u ( y )

Ou seja

y ∙ u y ' = u y + y ∙ u ' y

Como u y + y ∙ u ' y = 2 y , ganhamos

y ∙ u y ' = 2 y

Integrando em y os dois lados

∫ y ∙ u y ' d y = ∫ 2 y d y

Lembrando que ∫ y ∙ u y ' d y = y ∙ u y

y ∙ u y = y 2 + c

Onde c é a constante de integração. Como o exercício nos pediu uma função específica, podemos escolher qualquer valor para c .

Tomando então c = 0

y ∙ u y = y 2       ⇒

u y = y 2 y = y

Resposta

u y = y

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