Exercícios Resolvidos de Equação Não Exata - Fator Integrante

Elaboração Própria

Determine a solução:

y ' = x 2 + 5 y 2 3 x y   ,     y 1 = 1

Passo 1

Por enquanto não dá para dizer a cara dessa EDO, vamos fazer uns algebrismos para ver no que dá!

d y d x = x 2 + 5 y 2 3 x y

3 x y d y = x 2 + 5 y 2 d x

Bem, separável não parece ser, Edo linear de primeira ordem também não parece (tenta deixar com cara de EDO linear de primeira ordem, que você vai ver que não fica bacana!)

Hmmm! Mas opa, vamos deixa com essa cara aqui:

x 2 + 5 y 2 d x - 3 x y d y = 0

Esse está com aquele Carão de Exata ou quase exata, né?! Vamos resolver por esse caminho!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Identifique M ( x , y ) e N ( x , y )

M x , y = x 2 + 5 y 2 ( É   o   c a r a   q u e   m u l t i p l i c a   o   d x ! )

N x , y = - 3 x y

Passo 3

Vamos ver se é exata ou não

M x , y y = 10 y

N x , y x = - 3 y

Bem bem, não é exata =(...Mas sabemos um método para transformar ela em exata!

Passo 4

Vamos ver o fator integrante!

h x = M y - N x N = 10 y - ( - 3 y ) - 3 x y = 13 y - 3 x y = - 13 3 x

Que é uma função que depende só de x ! Logo podemos usar esse fator integrante:

e h x d x = e - 13 / ( 3 x ) d x = e - 13 ln x / 3 = e ln x - 13 / 3 = x - 13 / 3

Bem, daqui farei a suposição de que x > 0 , assim podemos tirar o módulo.

e h x d x = x - 13 / 3

Passo 5

A EDO é:

x 2 + 5 y 2 d x - 3 x y d y = 0

Multiplicando a EDO por esse fator integrante:

x 2 - 13 / 3 + 5 x - 13 / 3 y 2 d x - 3 x 1 - 13 / 3 y d y = 0

Assim fica

x - 7 / 3 + 5 x - 13 / 3 y 2 d x - 3 x - 10 / 3 y d y = 0

M x , y = x - 7 / 3 + 5 x - 13 / 3 y 2

N x , y = - 3 x - 10 / 3 y

Passo 6

Integrando M ( x , y ) em relação a   x .

M x , y d x = x - 7 / 3 + 5 x - 13 / 3 y 2 d x = - 3 4 x - 4 / 3 - 3 2 x - 10 / 3 y 2 + g y

Passo 7

Derivando o obtido no último passo com relação a y :

y - 3 4 x - 4 / 3 - 3 2 x - 10 / 3 y 2 + g y = - 3 x - 10 / 3 y + g ' y

E igualando isso a N x , y :

- 3 x - 10 / 3 y = - 3 x - 10 / 3 y + g ' y

g ' y = 0

Passo 8

Integrando g ' y sem adicionar a constante:

0 d y = 0

Obtendo a função u x , y = M x , y d x :

u x , y = - 3 4 x - 4 / 3 - 3 2 x - 10 / 3 y 2 + 0

Passo 9

A solução vai ser dada por u x , y = C :

- 3 4 x - 4 / 3 - 3 2 x - 10 / 3 y 2 = C

Passo 10

Substituir a condição de contorno:

y 1 = 1

Nós estávamos procurando y ( x ) , certo? Se ele deu que y 1 = 1 , isso quer dizer que quando x for 1 y vai ser 1 também. Então nós substituímos esse ponto na função que achamos:

- 3 4 . 1 - 4 / 3 - 3 2 1 - 10 / 3 1 2 = C

Assim:

C = - 3 4 - 3 2 = - 9 4

Assim a edo é:

- 3 4 x - 4 / 3 - 3 2 x - 10 / 3 y 2 = - 9 4

Simplifcando:

1 3 x - 4 / 3 + 2 3 x - 10 / 3 y 2 = 1

Se quiser, podemos colocar o y em evidência:

y 2 = 3 2 x 10 / 3 - 1 2 x 2

Resposta

y 2 = 3 2 x 10 3 - 1 2 x 2

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