Determine a solução geral da equação

2 x y ln ⁡ y - y cos ⁡ x d x + x 2 - 2 y 2 d y = 0

Sabendo que ela tem um fator integrante que só depende de y

Passo 1

Essa equação tem uma cara de equação exata, mas para dizer isso temos que verificar. A cara da equação exata é

P x . y d x + Q x , y d y = 0

Então temos

P x , y = 2 x y ln ⁡ y - y cos ⁡ x

E

Q x , y = x 2 - 2 y 2

Vamos usar o critério ode Euler e ver se ∂ P ∂ y é igual a ∂ Q ∂ x

∂ P ∂ y = 2 x ln ⁡ y + 2 x y 1 y - cos ⁡ x = 2 x ln ⁡ y + 2 x - cos ⁡ x

E

∂ Q ∂ x = 2 x

E acabamos de ver que esses caras são diferentes, então essa equação não é exata.

E agora? Repara que ele falou de fator integrante ali, ou seja, essa equação que ele deu é uma equação quase exata, e o fator integrante depende só de y .

Passo 2

Vamos achar o fator integrante, como ele só depende de y como foi dito no enunciado o nosso fator integrante vai ser

λ = e ∫ f y d y

Com

f y = ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y P

Então vamos achar essa função f y

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y = 2 x - 2 x ln ⁡ y + 2 x - cos ⁡ x = - 2 x ln ⁡ y + cos ⁡ x

E vamos ter

f y = - 2 x ln ⁡ y + cos ⁡ x 2 x y ln ⁡ y - y cos ⁡ x = - 2 x ln ⁡ y + cos ⁡ x - y - 2 x ln ⁡ y + cos ⁡ x = - 1 y

Vamos achar a integral no expoente para acharmos o fator integrante

∫ - 1 y d y = - ln ⁡ y

O fator integrante vai ser

λ = e - ln ⁡ y = e ln ⁡ y - 1 = y - 1

Então podemos pegar

λ = 1 y

Passo 3

A nossa nova equação vai ser encontrada multiplicando aquela do enunciado pelo fator integrante

2 x y ln ⁡ y - y cos ⁡ x y d x + x 2 - 2 y 2 y d y = 0

Arrumando isso

2 x ln ⁡ y - cos ⁡ x d x + x 2 y - 2 y d y = 0

Vamos ter

P x , y = 2 x ln ⁡ y - cos ⁡ x

E

Q x , y = x 2 y - 2 y

A primeira coisa que fazemos é integrar Q em relação a y

φ x , y = ∫ Q x , y d y = ∫ x 2 y - 2 y d y

φ x , y = x 2 ln ⁡ y - 2 y 2 2 + k x

φ x , y = x 2 ln ⁡ y - y 2 + k x

Passo 4

Agora vamos derivar φ em relação a x e comparar com P

∂ φ ∂ x = 2 x ln ⁡ y + k ' x

E vamos ter

2 x ln ⁡ y + k ' x = 2 x ln ⁡ y - cos ⁡ x

E

k ' x = - cos ⁡ x

Assim vamos ter

k x = - sen ⁡ x

Passo 5

A solução da nossa equação exata vai ser

φ x , y = C

Já temos a nossa função potencial, então

x 2 ln ⁡ y - y 2 - sen ⁡ x = C

Resposta

x 2 ln ⁡ y - y 2 - sen ⁡ x = C

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 1 e 12:(a) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.(b) Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores
Em cada um dos problemas de 1 e 12:(a) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.(b) Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores
Em cada um dos problemas de 1 e 12:(a) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.(b) Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores
Em cada um dos problemas de 1 e 12:(a) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.(b) Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores
Em cada um dos problemas de 1 e 12:(a) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.(b) Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores