Determine a solução do problema de valor inicial:

e x 3 + sen ⁡ y + x 3 cos ⁡ y y ' = 0 y 0 = 0

Passo 1

Olhando assim temos uma EDO bastante bizarra, mas vamos reescrever

y ' = d y d x .

Assim, vai ficar:

e x 3 + sen ⁡ y + x 3 cos ⁡ y d y d x   = 0

Multiplicando tudo por d x , vai ficar:

e x 3 + sen ⁡ y d x + x 3 cos ⁡ y d y = 0

E agora temos uma equação na forma da equação exata!

M x , y d x + N x , y d y = 0

Passo 2

Está na forma da equação exata, mas precisamos verificar se é exata mesmo. Para isso, vamos usar o critério de Euler:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x ⟹ E q .   e x a t a

Para isso, vamos começar derivando:

∂ M ∂ y = ∂ e x 3 + sen ⁡ y ∂ y = cos ⁡ y

Agora vamos derivar N em relação a x . Analogamente, vamos ter: ∂ N ∂ x = ∂ x 3 cos ⁡ y ∂ x = cos ⁡ y 3

Putz, por muito pouco temos que

∂ M ∂ y ≠ ∂ N ∂ x .

Ou seja, não temos uma equação exata :/

Mas a fé não acaba, vamos tentar resolver essa equação não-exata usando fator integrante.

Passo 3

Para encontrar o fator integrante, verificamos nossos candidatos. O primeiro candidato vai ser dado por: ∂ M ∂ y - ∂ N ∂ x N → h x

Se essa expressão for uma função apenas de x, então esse será nosso candidato. Substituindo o que já encontramos: ∂ M ∂ y - ∂ N ∂ x N = cos ⁡ y - cos ⁡ y 3 x 3 cos ⁡ y = 2 3 cos ⁡ y x 3 cos ⁡ y = 2 x = h x

Essa é uma função só de x , então adotamos a expressão para calcular o nosso fator integrante.

Passo 4

O que encontramos é o candidato a fator integrante! Ou seja, calculamos o fator integrante a partir dele. No caso, o fator integrante vai ser dado por:

I x = e ∫ h x d x = e ∫ 2 x d x = e 2 ln ⁡ x

Podemos cortar a exponencial com o log, mas para isso, usamos a propriedade do peteleco e jogamos o dois para dentro do logaritmo:

I x = e ln ⁡ x 2 = x 2

Show! Ficou bem bonito esse fator integrante aí.

Passo 5

Agora, vamos multiplicar nossa equação por esse fator integrante:

e x 3 + sen ⁡ y d x + x 3 cos ⁡ y d y x 2 e x 3 + sen ⁡ y d x + x 2 x 3 cos ⁡ y d y = 0

x 2 e x 3 + x 2 sen ⁡ y d x + x 3 3 cos ⁡ y d y = 0

Vamos reescrever como

M - x , y d x + N - x , y d y = 0

para não confundir com os termos da equação anterior.

E, agora, testamos para equação exata novamente:

∂ M - ∂ y = ∂ x 2 e x 3 + x 2 sen ⁡ y ∂ y = x 2 cos ⁡ y

∂ N - ∂ x = ∂ x 3 3 cos ⁡ y ∂ x = x 2 cos ⁡ y

OPA! Agora deu igual! Então podemos resolver essa nova equação como sendo uma equação exata! Vamos reescrever como

Passo 6

Como agora temos aqui uma equação exata, a solução vai ser dada implicitamente por:

∫ M - x , y d x = u x , y = C

Então, vamos precisar calcular essa integral. Para isso temos: ∫ M - x , y d x = ∫ x 2 e x 3 + x 2 sen ⁡ y d x

= ∫ x 2 e x 3 d x + ∫ x 2 sen ⁡ y d x + g y

Aparece esse g y , porque estamos integrando em relação a x , já deixamos ali apesar de não ter calculado as integrais ainda para dar ênfase nesta parte que é bem importante #FICAADICA. Vamos olhar para cada integral separadamente agora.

∫ x 2 e x 3 d x

Temos uma função x 3 e a sua derivada a menos de uma constante aparecendo ali x 2 , logo está cheirando a substituição simples. Vamos fazer:

w = x 3

d w = 3 x 2 d x

Portanto, vai ficar:

∫ x 2 e x 3 d x = 1 3 ∫ e w d w = 1 3 e w = 1 3 e x 3

Show, agora vamos para:

∫ x 2 sen ⁡ y d x

Como estamos integrando em relação a x , toda função de y é com se fosse constante. Assim, vamos ter: ∫ x 2 sen ⁡ y d x = sen ⁡ y ∫ x 2 d x = x 3 3 sen ⁡ y

Substituindo esses valores que encontramos, vai ficar:

∫ M - x , y d x = 1 3 e x 3 + x 3 3 sen ⁡ y + g y

Para completar a solução, precisamos determinar esse g y . Fazemos isso comparando: ∂ ∂ y ∫ M - x , y d x = N - x , y

Passo 7

Então vamos derivar:

∂ ∂ y ∫ M - x , y d x = ∂ ∂ y 1 3 e x 3 + x 3 3 sen ⁡ y + g y = x 3 3 cos ⁡ y + g ' y

Passo 8

E então vamos comparar:

∂ ∂ y ∫ M - x , y d x = N - x , y

x 3 3 cos ⁡ y + g ' y = x 3 3 cos ⁡ y

g ' y = 0

Passo 9

Então, encontramos g y integrando g ' y :

g y = ∫ g ' y d y = ∫ 0 d y = 0

Aqui não precisamos colocar a constante. Ela vai aparecer no final.

Passo 10

Legal, agora já podemos escrever nossa solução:

∫ M - x , y d x = u x , y = C

u x , y = 1 3 e x 3 + x 3 3 sen ⁡ y + g y = C

u x , y = 1 3 e x 3 + x 3 3 sen ⁡ y = C

Passo 11

E agora usando o valor inicial que ele deu:

y 0 = 0

u x , y = 1 3 e x 3 + x 3 3 sen ⁡ y = C

u 0,0 = 1 3 e 0 + 0 3 3 sen ⁡ 0 = C

C = 1 3

u x , y = 1 3 e x 3 + x 3 3 sen ⁡ y = 1 3

Resposta

u x , y = 1 3 e x 3 + x 3 3 sen ⁡ y = 1 3

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