Encontre um fator integrante e resolva a equação dada

e x d x + e x cotg ⁡ y + y cossec ⁡ y d y = 0

Passo 1

Olha aí, tem cara de equação exata. Vamos aplicar o teste de Euler para verificar se essa EDO é exata.

M x , y = e x

∂ M ∂ y = 0

N x , y = e x cotg ⁡ y + y cossec ⁡ y

∂ N ∂ x = e X cotg ⁡ y

e vemos que

∂ M ∂ y ≠ ∂ N ∂ x

Assim, precisamos de fato de um fator integrante para resolver esta equação quase exata.

Passo 2

Vamos calcular assim:

h x = ∂ M ∂ y - ∂ N ∂ x N

h x = 0 - e X cotg ⁡ y e x cotg ⁡ y + y cossec ⁡ y

h x = e X cotg ⁡ y e x cotg ⁡ y + y cossec ⁡ y

Paaaara aí! Isso não é uma função só de x ...

Então vamos tentar o outro candidato:

f y = ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y M

f y = e X cotg ⁡ y - 0 e x

f y = cotg ⁡ y

Ahh agora sim – que alívio! =)

Passo 3

Beleza, então vamos encontrar o fator integrante agora:

I y = e ∫ cotg ⁡ y d y

Vamos resolver aquela integral separada

∫ cotg ⁡ y d y

Podemos ver que

∫ cotg ⁡ y d y = ∫ cos ⁡ y sen ⁡ y d y

Aqui, vamos usar substituição, fazendo:

sen ⁡ y = u → d u = cos ⁡ y d y

Assim nossa integral fica

∫ d u u = ln ⁡ u

Voltando para y , vamos ter

u = sen ⁡ y → ∫ cotg ⁡ y d y = ln ⁡ sen ⁡ y

Agora o nosso fator integrante vai ser

I y = e ln ⁡ sen ⁡ y

I y = sen ⁡ y

E multiplicamos a equação toda por ele:

e x sen ⁡ y d x + e x cotg ⁡ y + y cossec ⁡ y sen ⁡ y d y = 0

Usando as relações trigonométricas para cotangente e cossecante, vamos ter:

e x sen ⁡ y d x + e x cos ⁡ y + y d y = 0

Passo 4

A nova equação é exata, aí fazemos o mesmo procedimento:

M x , y = e x sen ⁡ y

∂ M ∂ y = e x cos ⁡ y

N x , y = e x cos ⁡ y + y

∂ N ∂ x = e X cos ⁡ y

Agora sim,

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Passo 5

Temos que achar a função U x , y = C , onde a nossa EDO exata é assim:

∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y = 0

A nossa EDO é

e x sen ⁡ y d x + e x cos ⁡ y + y d y = 0

Comparando com a nossa EDO, temos

∂ U ∂ x = e x sen ⁡ y

∂ U ∂ y = e x cos ⁡ y + y

Vamos tomar primeiro a integral de ∂ U ∂ x

U = ∫     e x sen ⁡ y d x

U = e x sen ⁡ y + g y

Agora vamos fazer ∂ U ∂ y e comparar com o que achamos ali em cima

∂ U ∂ y = e x cos ⁡ y + g ' y

Passo 6

Igualando o obtido no passo 5 com   ∂ U ∂ y   da EDO:

e x cos ⁡ y + y = e x cos ⁡ y + g ' y

g ' y = y

Integrando para obtermos g y (sem acrescentar a constante):

g y = ∫ y d y

g y = y 2 2

Passo 7

Agora vamos ter que a função U vai ser

U x , y = e x sen ⁡ y + y 2 2

A solução é dada por u x , y = C :

e x sen ⁡ y + y 2 2 = C

Resposta

I y = sen ⁡ y

e x sen ⁡ y + y 2 2 = C

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